Serie de Taylor

La idea

Los polinomios son las funciones más fáciles: solo requieren sumas y multiplicaciones. ¿Se podrá imitar una función complicada, como $\sin x$ o $e^x$, con un polinomio? La serie de Taylor dice que sí: elegí un polinomio que tenga en el punto $a$ el mismo valor, la misma pendiente, la misma curvatura... y así con todas las derivadas.

Por qué funciona

Si $f(x)=c_0+c_1(x-a)+c_2(x-a{)}^2+\dots$, al evaluar en $a$ queda $f(a)=c_0$. Derivando una vez y evaluando, $f^{\prime }(a)=c_1$. Derivando dos veces, $f^{\prime \prime }(a)=2c_2$. En general $f^{(n)}(a)=n!c_n$, de donde salen los coeficientes $c_n=\frac{f^{(n)}(a)}{n!}$. Cuando $a=0$ se la llama serie de Maclaurin.

Las series más famosas

Sustituyendo $x$ por $ix$ en la primera y comparando con las otras dos se obtiene la fórmula de Euler $e^{ix}=\cos x+i\sin x$.

Ojo: no siempre la serie converge para todo $x$. La de $\frac{1}{1-x}$ (la serie geométrica) solo vale si $|x|<1$. El polinomio truncado tiene un error, el resto, que Lagrange aprendió a acotar.

Dónde se usa hoy

• Calculadoras y computadoras: los chips calculan senos, logaritmos y exponenciales con polinomios de este tipo (u otros parientes optimizados).
• Física: la aproximación de ángulos pequeños, $\sin \theta \approx \theta$, convierte la ecuación del péndulo en una que se resuelve a mano. La energía de Einstein $E=\gamma m{c}^2$ desarrollada en Taylor da $m{c}^2+\frac{1}{2}m{v}^2+\dots$: aparece la energía cinética de Newton.
• Ingeniería: linealizar sistemas complejos alrededor de un punto de funcionamiento, como el control de un avión o un dron.