Problema de Basilea

El enigma

Sumar $1+\frac{1}{4}+\frac{1}{9}+\frac{1}{16}+\cdots$ parece inofensivo. Los términos se achican rápido y la suma converge (está acotada por 2, comparándola con $\sum \frac{1}{n(n-1)}$, que se cancela en cadena). Pero ¿a qué número exacto? Durante casi un siglo los mejores matemáticos de Europa fracasaron. Las sumas parciales avanzan con exasperante lentitud: con 1000 términos se obtiene 1,6439..., y el valor real es 1,6449...

La idea genial de Euler

Euler pensó en $\frac{\sin x}{x}$ como si fuera un polinomio infinito. Un polinomio se puede factorizar conociendo sus raíces, y las raíces de $\frac{\sin x}{x}$ son $\pm \pi ,\pm 2\pi ,\pm 3\pi ,\dots$ Entonces, se arriesgó a escribir

Por otro lado, la serie de Taylor dice $\frac{\sin x}{x}=1-\frac{x^2}{6}+\cdots$. Si se multiplica el producto infinito y se mira el coeficiente de $x^2$, aparece $-\frac{1}{{\pi }^2}\left(1+\frac{1}{4}+\frac{1}{9}+\cdots \right)$. Igualando ambos coeficientes:

El paso del producto infinito no estaba justificado en 1735; Weierstrass lo fundamentó en el siglo XIX.

Lo que vino después

Euler calculó con el mismo método $\sum \frac{1}{n^4}=\frac{{\pi }^4}{90}$ y todas las potencias pares. La función $\zeta (s)=\sum \frac{1}{n^s}$ que nació de este problema es la función zeta, y Riemann la extendió en 1859 a los números complejos. La hipótesis de Riemann sobre sus ceros es hoy el problema abierto más famoso de la matemática, con un premio de un millón de dólares del Instituto Clay.

Una curiosidad probabilística

La probabilidad de que dos números enteros elegidos al azar no tengan divisores comunes (sean coprimos) es $\frac{6}{{\pi }^2}\approx 61\%$, el inverso de esta suma.