El número e como límite

El número e es el límite de capitalizar un interés del 100 % cada vez más seguido; es la base natural del crecimiento continuo.

El problema del banquero

Depositás 1 000 000 de guaraníes a un interés (generosísimo) del 100 % anual. Si el banco paga una vez al año, terminás con 2 000 000. Si paga 50 % cada semestre y reinvierte, obtenés $1, 5^{2} = 2, 25$ millones. Si paga mensualmente, $(1 + \frac{1}{12})^{12} \approx 2, 613$ millones. Diariamente, $\approx 2, 7146$ . ¿Hay un tope si se capitaliza cada segundo, cada instante? Sí: el capital se multiplica por $e \approx 2, 71828$ .

n	1	12	365	1 000 000
$(1 + 1/ n)^{n}$	2	2,6130	2,7146	2,71828

Por qué converge

Desarrollando con el binomio de Newton,

(1 + \frac{1}{n})^{n} = 1 + 1 + \frac{1}{2 !} (1 - \frac{1}{n}) + \frac{1}{3 !} (1 - \frac{1}{n}) (1 - \frac{2}{n}) + \dots

Cada término crece con $n$ , pero nunca supera al de la serie $1 + 1 + \frac{1}{2 !} + \frac{1}{3 !} + \dots$ , que está acotada por 3. Una sucesión creciente y acotada converge, y su límite es

e = k = 0 \sum \infty \frac{1}{k !}

Por qué es "natural"

La función $e^{x}$ es la única (salvo múltiplos) que es su propia derivada: $(e^{x})^{'} = e^{x}$ . Su crecimiento en cada instante es igual a su tamaño. Por eso aparece en todo proceso donde el cambio es proporcional a lo que hay. Generalizando, $(1 + \frac{x}{n})^{n} \to e^{x}$ .

Dónde se usa hoy

Finanzas: la capitalización continua, $A = P e^{r t}$ .
Biología: crecimiento de poblaciones de bacterias.
Física: desintegración radiactiva, $N = N_{0} e^{- λ t}$ , y la carga de un capacitor.
Probabilidad: la distribución normal y la de Poisson llevan $e$ en su fórmula.

El problema del banquero

Por qué converge

Por qué es "natural"

Dónde se usa hoy

Jacob Bernoulli (descubrimiento); Leonhard Euler (nombre y estudio)

Seguí el hilo

Interés compuesto

Identidad de Euler

Serie de Taylor

Binomio de Newton

Propiedades de los logaritmos

Radiactividad

Bacterias

Aproximación de Stirling

Regla de L'Hôpital