Definición de derivada

La idea

El velocímetro de un auto marca la velocidad en este instante. Pero velocidad es distancia dividida por tiempo, y en un instante no pasa tiempo. ¿Cómo se resuelve la paradoja? Midiendo en intervalos cada vez más cortos y viendo a qué valor se acercan. Eso es una derivada.

Por qué funciona

Tomá dos puntos de la gráfica de $f$: $(x,f(x))$ y $(x+h,f(x+h))$. La recta que los une (una secante) tiene pendiente

que es la tasa de cambio promedio. Si $h$ se achica, el segundo punto se desliza hacia el primero y la secante gira hasta convertirse en la recta tangente. El límite de esas pendientes es $f^{\prime }(x)$.

Ejemplo con $f(x)=x^2$:

Notaciones

• $f^{\prime }(x)$, de Lagrange.
• $\frac{dy}{dx}$, de Leibniz, que sugiere un cociente de cambios infinitesimales y hace muy natural la regla de la cadena.
• $\dot{x}$, de Newton, todavía usada en física para derivadas respecto del tiempo.

No toda función tiene derivada en todos sus puntos: $|x|$ tiene un "pico" en $0$ donde las secantes de izquierda y derecha no coinciden.

Dónde se usa hoy

• Física: la velocidad es la derivada de la posición y la aceleración, la derivada de la velocidad; la segunda ley de Newton se escribe con derivadas.
• Economía: el costo marginal es la derivada del costo total.
• Optimización: los máximos y mínimos de una función están donde $f^{\prime }(x)=0$; así se diseñan latas con el mínimo de material.
• Inteligencia artificial: el entrenamiento de redes neuronales (descenso por gradiente) consiste en calcular millones de derivadas para ajustar parámetros.