Identidad de Euler

Cinco constantes, una ecuación

Cada una de ellas viene de un rincón distinto: el 0 y el 1 son los pilares de la aritmética; $\pi$ viene de la geometría del círculo; $e$, del crecimiento continuo y el cálculo; $i$, del álgebra de ecuaciones sin solución real. Que se relacionen de forma tan simple parece un milagro. En 1988, una encuesta entre lectores de la revista The Mathematical Intelligencer la eligió la fórmula más bella de la matemática.

De dónde sale: la fórmula de Euler

La identidad es un caso particular de la fórmula de Euler:

Se puede ver con las series de Taylor. Sustituyendo $x=i\theta$ en $e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\cdots$ y usando $i^2=-1$, $i^3=-i$, $i^4=1$, los términos se separan en dos grupos: los reales forman la serie del coseno y los imaginarios la del seno. Con $\theta =\pi$: $\cos \pi =-1$, $\sin \pi =0$, así que $e^{i\pi }=-1$.

La imagen geométrica

$e^{i\theta }$ es un punto que recorre la circunferencia unitaria del plano complejo: el exponente imaginario no hace "crecer" sino girar. Elevar $e$ a la $i\pi$ significa girar medio círculo, $180^{\circ }$, desde el $1$ hasta el $-1$. Con $\theta =2\pi$ se completa la vuelta: $e^{2\pi i}=1$.

Dónde se usa hoy

Más que la identidad en sí, lo que usa el mundo es la fórmula de Euler:

• Ingeniería eléctrica: los fasores representan corrientes alternas como $V{e}^{i\omega t}$; derivar se vuelve multiplicar.
• Procesamiento de señales: la transformada de Fourier, en el corazón del audio digital, el 4G/5G y la resonancia magnética, descompone señales en sumas de $e^{i\omega t}$.
• Mecánica cuántica: la función de onda de una partícula libre es $e^{i(kx-\omega t)}$.
• Trigonometría sin memoria: las fórmulas de la suma y la de De Moivre se deducen en una línea.