Radianes y grados

Dos maneras de medir un giro

El grado es una convención humana: dividir la vuelta en 360 partes, herencia de la astronomía babilónica y de su sistema de numeración en base 60 (360 tiene muchísimos divisores: 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12...). El radián, en cambio, sale de la propia circunferencia: es el ángulo central cuyo arco mide lo mismo que el radio.

Como la circunferencia completa mide $2\pi r$, caben exactamente $2\pi$ radios a lo largo de ella:

Por qué los matemáticos prefieren radianes

Con radianes, la longitud de arco es simplemente $s=r\theta$ y el área de un sector es $A=\frac{1}{2}{r}^2\theta$, sin factores raros. Pero la razón de fondo está en el cálculo: solo en radianes vale

En grados, la derivada del seno arrastraría un incómodo factor $\frac{\pi }{180}$. La serie de Taylor $\sin x=x-\frac{x^3}{6}+\dots$ y la fórmula de Euler $e^{i\pi }=-1$ también asumen radianes. Por eso las calculadoras científicas tienen el modo "RAD", y olvidarse de cambiarlo es uno de los errores más clásicos de examen.

Tabla mental

Dónde se usa hoy

• Física: la velocidad angular de un motor o de la Tierra se mide en rad/s, y la velocidad lineal es $v=\omega r$.
• Programación: las funciones trigonométricas de casi todos los lenguajes reciben radianes.
• Ingeniería: la longitud de una curva de ruta o de una correa sobre una polea se calcula con $s=r\theta$.
• El radián es la unidad oficial de ángulo del Sistema Internacional.