Serie geométrica
Suma de términos que se multiplican siempre por la misma razón; si la razón es menor que 1, incluso infinitos términos dan un resultado finito.
El truco de restar
Una serie geométrica es una suma como , donde cada término es el anterior multiplicado por una razón fija . Para sumarla, llamamos a la suma y la multiplicamos por :
Al restar, casi todo se cancela: , y despejando sale la fórmula.
Sumar infinitos términos
Si , el término se hace cada vez más chico y desaparece en el límite. Por eso
Esto resuelve la paradoja de Zenón: Aquiles recorre infinitos tramos cada vez más cortos, pero su suma es finita y alcanza a la tortuga en un tiempo finito. También explica por qué exactamente.
La leyenda del ajedrez
Según una leyenda de la India, el inventor del ajedrez pidió como premio un grano de trigo en la primera casilla, dos en la segunda, cuatro en la tercera, y así hasta la 64. El rey aceptó creyendo que era poco. La cuenta es una serie geométrica de razón 2:
mucho más trigo que el que la humanidad ha cosechado en toda su historia.
Dónde se usa
- Finanzas: cuotas de préstamos, rentas y el valor actual de pagos futuros.
- Física: la pelota que rebota perdiendo altura en cada bote recorre una distancia total finita.
- Informática: las estructuras de datos que duplican su tamaño al llenarse tienen costo total proporcional a .
- Fractales: el perímetro y el área del copo de nieve de Koch se calculan con series geométricas.
Ejercicio resuelto
Una pelota se suelta desde 10 m y en cada rebote sube al 60 % de la altura anterior. ¿Qué distancia vertical total recorre hasta detenerse?
Quién la creó
Escribas egipcios, Euclides y Arquímedes
c. 1550 a. C. – s. III a. C.
El problema 79 del papiro Rhind, copiado por el escriba Ahmes hacia 1550 a. C., suma 7 casas, 49 gatos, 343 ratones, 2401 espigas y 16.807 medidas de grano: una progresión de razón 7 que totaliza 19.607. Euclides dio la regla para sumar progresiones geométricas en la proposición 35 del libro IX de los Elementos. Arquímedes, en La cuadratura de la parábola, usó la suma infinita para calcular el área de un segmento parabólico, uno de los primeros usos de una serie infinita.
Galería
¿Cuánto vale 1 + 1/3 + 1/9 + 1/27 + …?
Conexiones
Seguí el hilo
Arquímedes
El genio de Siracusa que midió la esfera y desafió a Roma
Antiguo Egipto
Tres mil años de faraones a orillas del Nilo
Interés compuesto
El capital crece multiplicándose: los intereses ganados también generan intereses.
Progresión aritmética
Una sucesión en la que cada término se obtiene sumando siempre la misma diferencia al anterior, y la fórmula para sumar sus términos.
Filosofía griega
Cuando los griegos dejaron de preguntar a los dioses y empezaron a preguntarse
Problema de Basilea
La suma infinita de los inversos de los cuadrados perfectos da exactamente π²/6: un resultado que unió la aritmética de los enteros con la geometría del círculo.
Serie de Taylor
Reconstruye una función como un polinomio infinito usando solo la información de sus derivadas en un único punto.
Suma de Gauss
La suma de los primeros n números naturales es igual a n por n+1, dividido entre dos.