Regla de L'Hôpital

El problema

¿Cuánto vale $\frac{\sin x}{x}$ cuando $x\to 0$? Al sustituir sale $\frac{0}{0}$, una indeterminación: el numerador y el denominador se anulan a la vez y la respuesta depende de qué tan rápido lo hace cada uno. Podría dar cualquier número.

Por qué funciona

Cerca de $a$, si $f(a)=g(a)=0$, cada función se parece a su recta tangente:

Al dividir, el factor $(x-a)$ se cancela y queda $\frac{f^{\prime }(a)}{g^{\prime }(a)}$. Es una carrera: la derivada mide la velocidad con que cada función llega a cero. La demostración rigurosa usa el teorema del valor medio de Cauchy.

Así, ${\lim }_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}={\lim }_{x\to 0}\frac{\cos x}{1}=1$. Si el nuevo cociente vuelve a dar $\frac{0}{0}$, se puede aplicar la regla otra vez.

Precauciones

• Solo vale para $\frac{0}{0}$ o $\frac{\infty }{\infty }$. Aplicarla a $\frac{1}{0}$ o a $\frac{2}{3}$ da resultados falsos.
• Se derivan numerador y denominador por separado, no se aplica la regla del cociente.
• Otras indeterminaciones ($0\cdot \infty$, $\infty -\infty$, $1^{\infty }$, $0^0$, ${\infty }^0$) se transforman primero en un cociente. Por ejemplo, ${\left(1+\frac{1}{n}\right)}^n$ es de tipo $1^{\infty }$; tomando logaritmos y aplicando L'Hôpital se prueba que tiende a $e$.

Dónde se usa hoy

• Comparar crecimientos: prueba que $e^x$ crece más rápido que cualquier polinomio, y que $\ln x$ crece más lento que cualquier potencia, algo clave en el análisis de algoritmos en informática.
• Física: verificar que una fórmula general se reduce al caso conocido en un límite, por ejemplo que una fórmula relativista se convierte en la de Newton a bajas velocidades.
• Estadística y economía: calcular límites en modelos con tasas que tienden a cero.