Integración por partes
Transforma la integral de un producto en otra integral más sencilla; es la regla del producto de las derivadas leída al revés.
La idea
No existe una "regla del producto" directa para integrar. Lo que sí existe es un truco: cambiar una integral difícil por otra más fácil. Se elige una parte del integrando para derivar (), que se simplifique al hacerlo, y otra para integrar (), que no se complique.
Por qué funciona
La regla del producto para derivadas dice
Integrando ambos lados:
Para integrales definidas: .
Cómo elegir
Una regla práctica muy difundida es LIATE: elegí como la función que aparezca primero en la lista Logarítmica, Inversa trigonométrica, Algebraica (polinomios), Trigonométrica, Exponencial. Los polinomios desaparecen al derivarlos varias veces, y los logaritmos se convierten en fracciones simples.
Hay casos curiosos: en , aplicar partes dos veces devuelve la integral original, y se despeja como una ecuación. Y para se elige , , y sale .
Dónde se usa hoy
- Física cuántica: en la mecánica cuántica se usa constantemente para mover derivadas de una función a otra, por ejemplo al demostrar que ciertos operadores son "simétricos".
- Transformadas de Fourier y Laplace: explica por qué derivar una señal equivale a multiplicar su transformada por la frecuencia, base del análisis de circuitos.
- Probabilidad: para calcular valores esperados y momentos de distribuciones como la exponencial.
- Matemática pura: con ella se demuestra la fórmula de Taylor con resto y se define la función Gamma, que extiende el factorial: .
Ejercicio resuelto
Calculá la integral de x·eˣ entre 0 y 1.
Quién la creó
Brook Taylor (con raíces en Leibniz y Barrow)
1715
La idea está implícita en la regla del producto que Leibniz publicó en 1684 y en los métodos geométricos de "transmutación" de áreas que él y Isaac Barrow usaban en la década de 1670. La formulación explícita se atribuye al inglés Brook Taylor, que la presentó en 1715 en su "Methodus incrementorum directa et inversa", el mismo libro donde aparece la serie que lleva su nombre. Después, Euler la convirtió en una herramienta de uso cotidiano en sus tratados de cálculo integral.
Al integrar x·cos x por partes, ¿qué conviene elegir como u?
Conexiones
Seguí el hilo
Teorema fundamental del cálculo
Derivar e integrar son operaciones inversas: el área bajo una curva se calcula evaluando una antiderivada en los extremos del intervalo.
Definición de derivada
La derivada mide la rapidez con que cambia una función en un instante: es la pendiente de la recta tangente, obtenida como límite de pendientes de rectas secantes.
Serie de Taylor
Reconstruye una función como un polinomio infinito usando solo la información de sus derivadas en un único punto.
Regla de la cadena
Para derivar una función compuesta se multiplica la derivada de la función de afuera (evaluada en la de adentro) por la derivada de la función de adentro.
Aproximación de Stirling
Estima el factorial de un número grande con potencias, π y e, con un error relativo que tiende a cero.
Ecuación de Schrödinger
Es la ecuación fundamental de la mecánica cuántica: describe cómo evoluciona en el tiempo la función de onda de una partícula, de la que se obtienen las probabilidades de cada resultado.
Mecánica cuántica
Las extrañas reglas del mundo diminuto