Binomio de Newton
Desarrolla cualquier potencia de una suma usando los números combinatorios del triángulo de Pascal.
Contar caminos
Al desarrollar , cada término del resultado se forma eligiendo o en cada uno de los tres paréntesis. ¿Cuántas veces sale ? Tantas como formas de elegir en qué paréntesis va la : tres. Así:
En general, el coeficiente de es el número de maneras de elegir paréntesis entre , es decir . Esa es toda la demostración.
El triángulo aritmético
Los coeficientes se ordenan en un triángulo donde cada número es la suma de los dos de arriba:
En Occidente se lo llama triángulo de Pascal, en China triángulo de Yang Hui y en Irán triángulo de Jayyam. Sumando cada fila se obtienen las potencias de 2, porque .
La gran idea de Newton
La contribución de Newton fue extender la fórmula a exponentes fraccionarios y negativos, donde la suma ya no termina:
Con esas series infinitas Newton calculó raíces, áreas bajo curvas y logaritmos, y fue un paso decisivo hacia el cálculo.
Dónde se usa
- Probabilidad: la distribución binomial (cuántas caras en monedas) usa exactamente estos coeficientes.
- Aproximaciones: para chico, muy usada en física e ingeniería.
- Combinatoria e informática: conteo de subconjuntos y análisis de algoritmos.
Ejercicio resuelto
Desarrollá (x + 2)^4.
Quién la creó
Al-Karaji, Jia Xian, Yang Hui, Blaise Pascal e Isaac Newton
c. 1000 – 1665
Hacia el año 1000, el persa al-Karaji describió el triángulo de coeficientes y lo justificó con un argumento cercano a la inducción; Omar Jayyam lo usó para extraer raíces. En China, Yang Hui lo publicó en 1261 atribuyéndolo a Jia Xian, del siglo XI. Blaise Pascal le dedicó en 1654 su Tratado del triángulo aritmético, publicado en 1665. Ese mismo año, durante la peste que cerró Cambridge, el joven Isaac Newton descubrió la serie para exponentes fraccionarios; la explicó en 1676 en dos cartas a Leibniz.
¿Cuál es el coeficiente de x³ en (x + 1)^5?
Conexiones
Seguí el hilo
Isaac Newton
El hombre que unificó el cielo y la Tierra
Combinaciones
Cuenta de cuántas maneras se pueden elegir k elementos de un grupo de n cuando el orden no importa.
Distribución binomial
Da la probabilidad de obtener exactamente k éxitos en n intentos independientes, cuando cada intento tiene la misma probabilidad p de éxito.
Serie de Taylor
Reconstruye una función como un polinomio infinito usando solo la información de sus derivadas en un único punto.
China imperial
Dos mil años bajo el Mandato del Cielo
Islam
La revelación que nació en una cueva cerca de La Meca
La revolución científica
Cuando el ser humano aprendió a interrogar a la naturaleza
Leyes de los exponentes
Las reglas para multiplicar, dividir y elevar potencias, que extienden los exponentes a cero, negativos y fracciones.
Fórmulas de Vieta
La suma y el producto de las raíces de un polinomio se leen directamente en sus coeficientes, sin resolver la ecuación.
Fórmula de De Moivre
Elevar a la n un número complejo de módulo 1 equivale a multiplicar su ángulo por n: conecta las potencias de los números complejos con la trigonometría.
El número e como límite
El número e es el límite de capitalizar un interés del 100 % cada vez más seguido; es la base natural del crecimiento continuo.
Regla de la potencia
Para derivar una potencia se baja el exponente multiplicando y se le resta uno; para integrarla se suma uno al exponente y se divide por el nuevo exponente.