Área del círculo
El área de un círculo es π multiplicado por el cuadrado de su radio.
Cortar y reacomodar
Una forma intuitiva de entender la fórmula es cortar el círculo como una pizza en muchas porciones muy finas y colocarlas alternando, una con la punta hacia arriba y otra hacia abajo. El resultado se parece cada vez más a un rectángulo: su altura es el radio y su base es la mitad de la circunferencia, . Su área es
Arquímedes lo expresó así: el área del círculo es igual a la de un triángulo con base igual a la circunferencia y altura igual al radio.
El método de exhaución
Arquímedes no podía usar infinitas porciones, así que razonó por exhaución: inscribió y circunscribió polígonos regulares de 6, 12, 24, 48 y 96 lados, y demostró que el área del círculo no puede ser ni mayor ni menor que . De paso obtuvo
es decir, . Siglos después, el cálculo integral confirmó el resultado: .
El cuadrado del radio manda
Como el radio está al cuadrado, duplicar el radio cuadruplica el área. Por eso una pizza grande de 40 cm rinde mucho más que dos medianas de 28 cm: cm² contra cm².
Dónde se usa
- Secciones de caños, cables y vigas: el caudal de agua depende del área del caño.
- Superficies regadas por aspersores, alcance de antenas y radios de cobertura.
- Astronomía: la luz que capta un telescopio crece con el área de su espejo; el espejo del James Webb, de 6,5 m, junta mucha más luz que los 2,4 m del Hubble.
- Base de los volúmenes del cilindro y del cono.
Un problema famoso relacionado, la cuadratura del círculo con regla y compás, resultó imposible: Lindemann probó en 1882 que es trascendente.
Ejercicio resuelto
¿Qué conviene más: una pizza de 30 cm de diámetro o dos de 20 cm, si cuestan lo mismo?
Quién la creó
Arquímedes de Siracusa; antecedentes egipcios, babilonios y chinos
c. 1650 a. C. – c. 250 a. C.
El problema 50 del papiro Rhind calcula el área de un campo circular de diámetro 9 como la de un cuadrado de lado 8, lo que equivale a usar π ≈ 3,16. Los babilonios usaban 3 o 3 1/8. Euclides demostró que las áreas de los círculos son proporcionales a los cuadrados de sus diámetros, con el método de Eudoxo. Arquímedes, en su breve tratado Sobre la medida del círculo, probó la fórmula y acotó π con polígonos de 96 lados. En China, Liu Hui refinó el método en el 263, y Zu Chongzhi llegó a 355/113.
Si se triplica el radio de un círculo, ¿cuántas veces aumenta su área?
Conexiones
Seguí el hilo
Arquímedes
El genio de Siracusa que midió la esfera y desafió a Roma
Longitud de la circunferencia
El perímetro de un círculo es π veces su diámetro: la misma proporción para todos los círculos del universo.
Volumen del cilindro
El volumen de un cilindro es el área de su base circular multiplicada por su altura.
Volumen de la esfera
El volumen de una esfera es cuatro tercios de π por el cubo del radio: dos tercios del cilindro que la contiene.
Antiguo Egipto
Tres mil años de faraones a orillas del Nilo
China imperial
Dos mil años bajo el Mandato del Cielo
Telescopio James Webb
Una máquina del tiempo de oro
La rueda
El invento redondo que tardó milenios en rodar
Radianes y grados
Un radián es el ángulo que abarca un arco de longitud igual al radio; una vuelta completa mide 2π radianes, es decir 360°.
Teorema fundamental del cálculo
Derivar e integrar son operaciones inversas: el área bajo una curva se calcula evaluando una antiderivada en los extremos del intervalo.
Integral de Gauss
El área total bajo la curva en forma de campana e^(−x²) es exactamente la raíz cuadrada de π, aunque esa función no tiene una antiderivada elemental.
Problema de Basilea
La suma infinita de los inversos de los cuadrados perfectos da exactamente π²/6: un resultado que unió la aritmética de los enteros con la geometría del círculo.