Volumen de la esfera

Dos tercios del cilindro

Arquímedes descubrió una relación de belleza perfecta: si una esfera se mete justo dentro de un cilindro (misma altura y mismo diámetro), la esfera ocupa exactamente dos tercios del cilindro, tanto en volumen como en superficie. El cilindro tiene volumen $\pi r^2\cdot 2r=2\pi r^3$, y dos tercios de eso es

La idea de las rebanadas

Una forma de verlo es el principio de Cavalieri: si dos sólidos tienen, a cada altura, cortes de la misma área, tienen el mismo volumen. Una semiesfera de radio $r$, cortada a altura $z$, da un círculo de área $\pi (r^2-z^2)$. Un cilindro de radio y altura $r$ al que se le quitó un cono da, a la misma altura, un anillo de área $\pi r^2-\pi z^2$. ¡Iguales! Entonces la semiesfera vale cilindro menos cono: $\pi r^3-\frac{1}{3}\pi r^3=\frac{2}{3}\pi r^3$.

Con cálculo integral se suman esas rebanadas: $V={\int }_{-r}^r\pi (r^2-z^2)dz=\frac{4}{3}\pi r^3$.

El cubo del radio

Como el radio está al cubo, si se duplica el radio el volumen se multiplica por 8. Un globo de radio doble necesita ocho veces más aire. Por eso, además, las gotas de lluvia grandes caen más rápido que las chicas: su peso crece con $r^3$ y la resistencia del aire con un área.

Dónde se usa

• Astronomía: el volumen del Sol es unas 1,3 millones de veces el de la Tierra.
• Deportes y fabricación: balones, rodamientos, tanques esféricos de gas.
• Medicina: estimación del tamaño de tumores o de células.
• Química: volúmenes de átomos y moléculas, y el empaquetamiento de esferas en cristales.

La esfera es, de todos los sólidos con la misma superficie, el que encierra mayor volumen: por eso las burbujas y las gotas son redondas.