Integral de Gauss
El área total bajo la curva en forma de campana e^(−x²) es exactamente la raíz cuadrada de π, aunque esa función no tiene una antiderivada elemental.
Un resultado sorprendente
La función dibuja una campana simétrica que cae muy rápido. Su área total es finita, pero hay un obstáculo: no existe ninguna combinación de funciones elementales cuya derivada sea (lo demostró Joseph Liouville en el siglo XIX). La regla de Barrow no sirve. Y sin embargo el área total se conoce exactamente, y en ella aparece , la constante de los círculos, en una curva que no tiene nada circular a la vista.
Por qué funciona: el truco de elevar al cuadrado
Llamemos a la integral. En lugar de calcularla, se calcula su cuadrado como una integral doble sobre todo el plano:
Ahora la función solo depende de la distancia al origen, : tiene simetría circular. Pasando a coordenadas polares, el elemento de área es , y ese extra es justo lo que faltaba para integrar:
Por lo tanto . Ahí está el círculo escondido.
Dónde se usa hoy
- Estadística: gracias a esta integral, la distribución normal se escribe con el factor , que hace que el área total sea 1.
- Física cuántica: el estado fundamental del oscilador armónico es una gaussiana, y las integrales de Feynman se basan en ella.
- Física térmica: la distribución de velocidades de Maxwell-Boltzmann de las moléculas de un gas.
- Procesamiento de imágenes: el "desenfoque gaussiano" de los editores de fotos usa esta función.
- Matemática: da el valor , es decir, el "factorial" de .
Ejercicio resuelto
Usando la integral de Gauss, calculá el área bajo e^(−x²/2) en toda la recta real.
Quién la creó
Abraham de Moivre, Pierre-Simon Laplace y Carl Friedrich Gauss
1733; 1774; 1809
Abraham de Moivre encontró integrales de este tipo en 1733 al aproximar la distribución binomial para muchas tiradas de moneda. Laplace calculó su valor exacto en 1774, en trabajos sobre probabilidades. Gauss la usó en 1809 en su "Theoria motus", al formular la ley de errores de las mediciones astronómicas, y su nombre quedó pegado. Según su biógrafo Silvanus Thompson, Lord Kelvin escribió la fórmula en una pizarra y dijo a sus alumnos que un matemático es alguien para quien eso resulta obvio.
¿Cuánto vale la integral de e^(−x²) entre 0 e ∞?
Conexiones
Seguí el hilo
Distribución normal
La famosa campana de Gauss describe cómo se reparten las mediciones alrededor de un promedio cuando influyen muchos factores pequeños e independientes.
Distribución binomial
Da la probabilidad de obtener exactamente k éxitos en n intentos independientes, cuando cada intento tiene la misma probabilidad p de éxito.
Área del círculo
El área de un círculo es π multiplicado por el cuadrado de su radio.
Aproximación de Stirling
Estima el factorial de un número grande con potencias, π y e, con un error relativo que tiende a cero.
Teorema fundamental del cálculo
Derivar e integrar son operaciones inversas: el área bajo una curva se calcula evaluando una antiderivada en los extremos del intervalo.
Mecánica cuántica
Las extrañas reglas del mundo diminuto
Termodinámica
Las leyes del calor que rigen desde un motor hasta el universo
Problema de Basilea
La suma infinita de los inversos de los cuadrados perfectos da exactamente π²/6: un resultado que unió la aritmética de los enteros con la geometría del círculo.