Volumen del cilindro

Una pila de monedas

Un cilindro es como una pila de monedas: muchísimas capas circulares iguales, una sobre otra. Cada capa tiene área $\pi r^2$, y si la pila mide $h$ de alto, el volumen total es

Es la misma regla que vale para cualquier prisma: área de la base por altura. Y por el principio de Cavalieri, si se tuerce la pila de monedas formando un cilindro oblicuo, el volumen no cambia, porque cada capa sigue teniendo la misma área.

Superficie

Para fabricar una lata hace falta saber también su superficie. Si se despega la etiqueta, es un rectángulo de base $2\pi r$ (la circunferencia) y altura $h$. Sumando las dos tapas:

Un problema clásico de cálculo pregunta qué lata guarda un volumen dado con la menor cantidad de chapa. La respuesta es la lata cuya altura es igual a su diámetro, $h=2r$, aunque muchas latas comerciales se diseñan más altas por razones de agarre, costo de tapas y marketing.

Unidades útiles

Recordar que $1{\text{ dm}}^3=1$ litro y $1{\text{ m}}^3=1000$ litros permite pasar de volúmenes geométricos a capacidades prácticas.

Dónde se usa

• Tanques de agua y silos de granos: un tanque de 1 m de radio y 2 m de alto guarda unos 6283 litros.
• Motores: la cilindrada de un motor es el volumen barrido por sus pistones. Un motor de 4 cilindros de 1600 cm³ tiene 400 cm³ por cilindro.
• Caños y cables: el volumen de agua en una cañería, o el de cobre en un cable.
• Cocina y farmacia: jarras medidoras, jeringas y probetas son cilindros graduados.

Arquímedes mostró que una esfera ocupa los $\frac{2}{3}$ del cilindro que la contiene y un cono, $\frac{1}{3}$.