Longitud de la circunferencia

La definición de π

Todos los círculos son semejantes: uno grande es una ampliación de uno chico. Por eso el cociente entre la circunferencia y el diámetro es el mismo número para una moneda, una rueda o la órbita de un planeta. Ese número es $\pi$:

La fórmula $C=\pi d$ no es un descubrimiento sobre los círculos: es, literalmente, la definición de π. Lo difícil fue calcular su valor.

Un número infinito

En 1761 Johann Lambert demostró que $\pi$ es irracional: sus decimales nunca terminan ni se repiten. Las aproximaciones históricas incluyen $\frac{22}{7}\approx 3,1429$, la de Arquímedes, y $\frac{355}{113}\approx 3,1415929$, la del chino Zu Chongzhi, correcta en seis decimales. Hoy se conocen billones de cifras, aunque para calcular la circunferencia del universo observable con precisión de un átomo bastan unas 40.

Radianes

Si la circunferencia completa mide $2\pi r$, un ángulo puede medirse por la longitud del arco que abarca dividida por el radio. Así nace el radián: una vuelta completa son $2\pi$ radianes, es decir $360^{\circ }$. Es la unidad natural de ángulos en cálculo y física.

Una sorpresa

Si se rodea el ecuador terrestre con una cuerda y luego se la alarga 1 metro, ¿cuánto se separa del suelo? Como $\Delta r=\frac{\Delta C}{2\pi }=\frac{1}{2\pi }\approx 16$ cm, sin importar el tamaño de la esfera. Lo mismo valdría para una pelota de tenis.

Dónde se usa

• Ruedas y velocímetros: cada vuelta de una rueda avanza $\pi d$; el velocímetro de un auto o una bicicleta cuenta vueltas.
• Geodesia: el meridiano terrestre mide unos 40.000 km; de hecho, el metro se definió en 1791 como la diezmillonésima parte de la distancia del polo al ecuador.
• Ingeniería: largo de correas, cables enrollados, pistas de atletismo.