Teorema fundamental del cálculo

Dos problemas que resultaron ser uno

Durante dos mil años hubo dos problemas separados. Uno, antiquísimo: calcular áreas de figuras curvas, que Arquímedes atacó llenando la figura con infinitos triángulos. El otro, del siglo XVII: hallar tangentes y velocidades. El teorema fundamental revela que son el mismo problema visto desde lados opuestos.

Primera parte: el área "acumulada" crece al ritmo de la función

Definí $A(x)={\int }_a^{x}f(t)dt$, el área bajo $f$ desde $a$ hasta $x$. Si $x$ avanza un poquito $h$, el área nueva es casi un rectángulo de base $h$ y altura $f(x)$:

La derivada del área es la propia función. La integral "deshace" la derivada.

Segunda parte: la regla de Barrow

Como $A$ es una antiderivada de $f$, cualquier otra antiderivada $F$ difiere de ella en una constante. Por eso:

Ya no hace falta sumar infinitos rectángulos: basta encontrar una función cuya derivada sea $f$. Por ejemplo, el área bajo $x^2$ entre 0 y 3 es $\frac{3^3}{3}-0=9$, porque ${\left(\frac{x^3}{3}\right)}^{\prime }=x^2$.

Dónde se usa hoy

• Física: la distancia recorrida es la integral de la velocidad; el trabajo es la integral de la fuerza a lo largo del camino.
• Medicina: el gasto cardíaco se mide integrando la concentración de un marcador en sangre a lo largo del tiempo.
• Economía: el excedente del consumidor es un área bajo la curva de demanda.
• Ingeniería: la energía que consume un hogar es la integral de la potencia; un medidor eléctrico realiza esa integración.

Casi toda la física matemática, desde Newton hasta Maxwell, descansa sobre este puente entre el cambio instantáneo y la acumulación.