Regla de la potencia

La idea

Es la regla más usada de todo el cálculo: $(x^3{)}^{\prime }=3x^2$, $(x^{10}{)}^{\prime }=10x^9$. Junto con el hecho de que las derivadas respetan sumas y múltiplos, permite derivar cualquier polinomio en segundos.

Por qué funciona

Para $n$ entero positivo, el binomio de Newton da

Restando $x^n$ y dividiendo por $h$ queda $n{x}^{n-1}$ más términos que todavía tienen $h$ y desaparecen en el límite. La intuición geométrica para $x^2$: un cuadrado de lado $x$ que crece un poquito $h$ gana dos tiras de área $x\cdot h$ (más un cuadradito despreciable), por eso su área crece a ritmo $2x$. Un cubo gana tres caras: $3x^2$.

Más allá de los enteros

La regla vale para cualquier exponente real:

• $\sqrt{x}=x^{1/2}$, así que $(\sqrt{x}{)}^{\prime }=\frac{1}{2}{x}^{-1/2}=\frac{1}{2\sqrt{x}}$.
• $\frac{1}{x}=x^{-1}$, así que ${\left(\frac{1}{x}\right)}^{\prime }=-x^{-2}$.

En la integral hay una única excepción: $n=-1$, porque dividiríamos por cero. Ese hueco lo llena el logaritmo natural: $\int \frac{1}{x}dx=\ln |x|+C$. Es uno de los motivos por los que $\ln$ y el número $e$ son tan importantes.

Dónde se usa hoy

• Física: de la posición en caída libre $s=4,9t^2$ se obtiene la velocidad $v=9,8t$ y la aceleración $g=9,8$ m/s².
• Geometría: la derivada del volumen de una esfera, $\frac{4}{3}\pi r^3$, es su superficie, $4\pi r^2$; la del área del círculo, $\pi r^2$, es su perímetro, $2\pi r$.
• Economía e ingeniería: modelos de costo, potencia o resistencia que dependen de potencias de una variable.