Teorema del valor medio
Si una función es suave en un intervalo, en algún punto intermedio su velocidad instantánea coincide exactamente con su velocidad promedio.
La idea
Viajás de Asunción a Ciudad del Este, unos 330 km por la Ruta PY02, en 4 horas: velocidad promedio de 82,5 km/h. El teorema garantiza que en algún instante el velocímetro marcó exactamente 82,5 km/h. No podés haber ido siempre más lento (no llegarías a tiempo) ni siempre más rápido (llegarías antes), y como la velocidad cambia de forma continua, en algún momento cruzó ese valor.
Geometría
La pendiente promedio es la de la recta secante que une con . El teorema dice que en algún punto la recta tangente es paralela a esa secante. Si dibujás cualquier curva suave entre dos puntos y deslizás una regla paralela a la secante, en algún momento la toca justo de costado.
Por qué funciona
El caso especial es el teorema de Rolle: si , hay un punto donde . Esto es porque una función continua en un intervalo cerrado alcanza un máximo y un mínimo, y si alguno está en el interior, ahí la tangente es horizontal. Para el caso general se "inclina" el problema: la función
cumple , y Rolle aplicado a da el resultado.
Las hipótesis importan: en tiene velocidad promedio 0, pero su derivada nunca vale 0, porque en no es derivable.
Por qué es importante
Aunque solo asegura que existe, sin decir dónde, es un pilar del cálculo:
- Prueba que si en todo un intervalo, es constante, y por lo tanto que dos antiderivadas difieren en una constante (clave del teorema fundamental).
- Prueba que implica que es creciente.
- Permite acotar errores, como en la fórmula de Taylor con resto y en métodos numéricos.
Una aplicación vial
Los sistemas de control de velocidad por tramos, usados en varios países, aplican este razonamiento: si dos cámaras registran que recorriste 10 km en 5 minutos (120 km/h de promedio), en algún instante fuiste exactamente a 120 km/h.
Ejercicio resuelto
Para f(x) = x² en el intervalo [1, 3], hallá el punto c que garantiza el teorema del valor medio.
Quién la creó
Michel Rolle; Joseph-Louis Lagrange; Augustin-Louis Cauchy (antecedente en Parameshvara)
siglo XV; 1691; 1797; 1823
Un caso particular, aplicado a la interpolación del seno, aparece en el siglo XV en el astrónomo indio Parameshvara, de la escuela de Kerala. En 1691 el francés Michel Rolle probó el caso f(a) = f(b) para polinomios; irónicamente, era un crítico del cálculo infinitesimal. Lagrange enunció la forma general en 1797 en su "Théorie des fonctions analytiques", y Cauchy, en 1823, la convirtió en el fundamento de su exposición rigurosa del cálculo, junto con una versión para dos funciones.
Un auto recorre 150 km en 2 horas. ¿Qué garantiza el teorema?
Conexiones
Seguí el hilo
Definición de derivada
La derivada mide la rapidez con que cambia una función en un instante: es la pendiente de la recta tangente, obtenida como límite de pendientes de rectas secantes.
Teorema fundamental del cálculo
Derivar e integrar son operaciones inversas: el área bajo una curva se calcula evaluando una antiderivada en los extremos del intervalo.
Regla de L'Hôpital
Resuelve límites indeterminados del tipo 0/0 o ∞/∞ reemplazando el cociente de funciones por el cociente de sus derivadas.
Serie de Taylor
Reconstruye una función como un polinomio infinito usando solo la información de sus derivadas en un único punto.
Media aritmética
El promedio de toda la vida: se suman todos los valores y se divide por la cantidad. Es el punto de equilibrio de un conjunto de datos.
Segunda ley de Newton
La fuerza neta sobre un cuerpo es igual a su masa por su aceleración: cuanto mayor la fuerza, más cambia el movimiento; cuanto mayor la masa, más se resiste.
La Ilustración
Atrévete a saber