Teorema de Pitágoras

Cuadrados sobre los lados

Dibujemos un triángulo rectángulo y construyamos un cuadrado sobre cada lado. El teorema afirma que el área del cuadrado grande, el de la hipotenusa, es exactamente igual a la suma de las áreas de los otros dos. Con catetos 3 y 4: $9+16=25=5^2$.

Una demostración de rompecabezas

Entre las cientos de demostraciones conocidas, una de las más visuales usa un cuadrado de lado $a+b$. Dentro se colocan cuatro copias del triángulo de dos maneras distintas:

• En la primera, dejan un hueco central con forma de cuadrado de lado $c$: área libre $c^2$.
• En la segunda, dejan dos huecos cuadrados de lados $a$ y $b$: área libre $a^2+b^2$.

Como el cuadrado grande y los cuatro triángulos son los mismos, las áreas libres son iguales: $a^2+b^2=c^2$. Euclides dio otra prueba, en la proposición 47 del libro I de los Elementos.

El recíproco también vale: si $a^2+b^2=c^2$, el triángulo es rectángulo. Los albañiles lo usan para escuadrar paredes con la cuerda 3-4-5.

Ternas pitagóricas

Hay infinitas ternas enteras que cumplen el teorema: $(3,4,5)$, $(5,12,13)$, $(8,15,17)$, $(7,24,25)$… Euclides dio una fórmula para generarlas todas. En cambio, Fermat afirmó, y Andrew Wiles demostró en 1994, que $a^n+b^n=c^n$ no tiene soluciones enteras positivas para $n>2$.

Dónde se usa hoy

• Distancias: la fórmula de la distancia entre dos puntos es Pitágoras en coordenadas; el GPS y los mapas la usan todo el tiempo.
• Pantallas: las pulgadas de un televisor miden su diagonal.
• Construcción y topografía: escuadras, rampas, techos y escaleras.
• Trigonometría: la identidad ${\sin }^2\theta +{\cos }^2\theta =1$ es Pitágoras en el círculo unitario.
• Física: sumar velocidades o fuerzas perpendiculares.