Ley de cosenos

La idea

El teorema de Pitágoras solo vale si el ángulo entre los catetos es recto. ¿Qué pasa si se "abre" o se "cierra" ese ángulo? Si se abre (obtuso), el tercer lado crece más de lo que Pitágoras predice; si se cierra (agudo), es más corto. La ley de cosenos mide exactamente esa corrección:

Cuando $C=90^{\circ }$, $\cos C=0$ y se recupera $c^2=a^2+b^2$. Para $C$ obtuso el coseno es negativo y el término se suma.

Por qué funciona

Colocá el vértice $C$ en el origen y el lado $b$ sobre el eje $x$. Entonces el vértice $A$ está en $(b,0)$ y el vértice $B$ en $(a\cos C,a\sin C)$. Con la fórmula de la distancia:

y la identidad pitagórica reduce el paréntesis a 1. Queda la ley.

Cuándo usarla

• Dos lados y el ángulo entre ellos (LAL): da el tercer lado.
• Tres lados (LLL): despejando, $\cos C=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}$ da cualquier ángulo, sin ambigüedad (a diferencia de la ley de senos).

Dónde se usa hoy

• Navegación y aviación: calcular la distancia real cuando un avión cambia de rumbo, o combinar la velocidad propia con el viento.
• GPS y geodesia: la versión esférica de la ley sirve para distancias sobre el globo.
• Física: sumar dos fuerzas o velocidades que forman un ángulo: $|\vec{F}{|}^2=F_1^2+F_2^2+2F_1{F}_2\cos \phi$ (el signo cambia porque $\phi$ es el ángulo entre los vectores).
• Ciencia de datos: la "similitud coseno" que usan los buscadores y modelos de lenguaje es pariente directa de esta fórmula.