Diferencia de cuadrados

Una figura que se reacomoda

Dibujemos un cuadrado de lado $a$ y recortémosle en una esquina un cuadrado de lado $b$. Lo que queda tiene área $a^2-b^2$. Si cortamos esa figura en L en dos rectángulos y los ponemos uno al lado del otro, forman un único rectángulo de lados $(a+b)$ y $(a-b)$. Misma área, otra forma:

Algebraicamente basta multiplicar: $(a+b)(a-b)=a^2-ab+ab-b^2$, y los términos del medio se cancelan.

Cálculo mental

El truco convierte multiplicaciones difíciles en fáciles. Cuando dos números están a igual distancia de uno redondo:

También al revés: $101^2-99^2=200\cdot 2=400$, sin calcular ningún cuadrado.

Factorizar y simplificar

• Simplificar fracciones algebraicas: $\frac{x^2-9}{x-3}=x+3$ (para $x\ne 3$).
• Resolver ecuaciones: $x^2=16$ equivale a $(x-4)(x+4)=0$, de donde $x=\pm 4$.
• Racionalizar denominadores: $\frac{1}{\sqrt{2}-1}=\frac{\sqrt{2}+1}{(\sqrt{2}{)}^2-1^2}=\sqrt{2}+1$.

Factorizar números enormes

Pierre de Fermat convirtió esta identidad en un método para hallar divisores: si un número impar $N$ se escribe como $x^2-y^2$, entonces $N=(x+y)(x-y)$. Se prueban valores de $x$ desde $\sqrt{N}$ hacia arriba hasta que $x^2-N$ sea un cuadrado perfecto. Funciona muy rápido cuando los dos factores están cerca, y por eso los sistemas criptográficos como RSA evitan elegir primos demasiado parecidos. Muchos algoritmos modernos de factorización, como la criba cuadrática, son refinamientos de esta misma idea.