Distancia entre dos puntos

La idea

Dos puntos cualesquiera del plano, $A(x_1,y_1)$ y $B(x_2,y_2)$, forman siempre un triángulo rectángulo escondido. Basta trazar desde $A$ una línea horizontal y desde $B$ una vertical: se cortan en un tercer punto $C(x_2,y_1)$. El cateto horizontal mide $|x_2-x_1|$, el vertical mide $|y_2-y_1|$, y el segmento $AB$ es la hipotenusa.

Por qué funciona

Aplicando el teorema de Pitágoras a ese triángulo:

y sacando raíz cuadrada se obtiene la fórmula. Los valores absolutos desaparecen porque elevar al cuadrado elimina el signo: da igual cuál punto se llame "primero".

Más dimensiones

La misma lógica se extiende al espacio. Para dos puntos en tres dimensiones basta aplicar Pitágoras dos veces:

y en $n$ dimensiones se suman $n$ cuadrados. Esta es la llamada distancia euclidiana, la base de lo que los matemáticos llaman un espacio métrico.

Dónde se usa hoy

• GPS y mapas: para distancias cortas sobre un plano proyectado, el cálculo es exactamente este (para grandes distancias se usa geometría esférica).
• Videojuegos: detectar si un personaje está dentro del radio de una explosión o de la vista de un enemigo.
• Inteligencia artificial: el algoritmo de los k vecinos más cercanos clasifica datos midiendo distancias euclidianas entre puntos de cientos de dimensiones.
• Ecuación de la circunferencia: los puntos a distancia $r$ del centro $(h,k)$ cumplen $(x-h{)}^2+(y-k{)}^2=r^2$, que es esta fórmula elevada al cuadrado.

Un truco práctico: cuando solo se necesita comparar distancias, los programadores omiten la raíz y comparan $d^2$, que es más rápido de calcular y conserva el orden.