Fórmula de Herón

Sin necesidad de altura

La fórmula clásica $\frac{b\cdot h}{2}$ exige conocer la altura, que en un terreno real puede ser difícil de medir: habría que trazar una perpendicular atravesando el campo. La fórmula de Herón resuelve el problema usando solo lo que se mide fácilmente con una cinta: los tres lados.

Se calcula primero el semiperímetro $s$, la mitad del perímetro, y luego se multiplica por sus diferencias con cada lado.

De dónde sale

Una derivación moderna parte del teorema de Pitágoras. Si la altura $h$ divide a la base $c$ en dos tramos, se plantean dos triángulos rectángulos y se despeja $h$. Tras bastante álgebra, usando repetidas veces la diferencia de cuadrados, se llega a

que es la fórmula de Herón con $s$ en lugar de la mitad del perímetro. La demostración original de Herón era puramente geométrica, con el círculo inscrito en el triángulo.

Detalles interesantes

• Si los lados no pueden formar un triángulo (por ejemplo 2, 3 y 6), algún factor $s-a$ resulta negativo y la raíz no existe. La fórmula «detecta» la desigualdad triangular.
• Si un factor es cero, el triángulo está aplastado y el área es 0.
• Hay triángulos con lados y área enteros, llamados heronianos. El más famoso es el $13$-$14$-$15$, de área 84.
• Su generalización a cuadriláteros inscritos en una circunferencia es la fórmula de Brahmagupta, del siglo VII.

Dónde se usa

En topografía, para medir parcelas irregulares divididas en triángulos; en gráficos por computadora y en programas de diseño, y en cualquier situación donde se conocen las distancias pero no los ángulos, como en la triangulación de señales.