Área del triángulo

La mitad de un rectángulo

Todo triángulo es la mitad de un paralelogramo: si se copia el triángulo, se lo gira 180° y se lo pega al original por un lado, aparece un paralelogramo de base $b$ y altura $h$. Y un paralelogramo tiene la misma área que un rectángulo de esas medidas, porque se puede cortar un triángulito de un costado y pasarlo al otro. Por lo tanto

Lo importante es que la altura sea perpendicular a la base elegida. Cualquier lado puede ser la base, siempre que se use su altura correspondiente. En un triángulo obtusángulo, la altura puede caer fuera del triángulo, sobre la prolongación de la base.

Consecuencia sorprendente

Todos los triángulos con la misma base y el vértice opuesto sobre una misma recta paralela a la base tienen igual área, aunque se vean muy distintos. Euclides lo demostró en el libro I de los Elementos.

Otras fórmulas

• Con un ángulo: si se conocen dos lados $a$, $b$ y el ángulo $C$ entre ellos, la altura es $a\sin C$, y entonces $A=\frac{1}{2}ab\sin C$.
• Con los tres lados: la fórmula de Herón.
• Con coordenadas: para vértices $(x_1,y_1)$, $(x_2,y_2)$, $(x_3,y_3)$, el área es la mitad del valor absoluto de un determinante.

Dónde se usa

• Agrimensura: cualquier terreno poligonal se divide en triángulos para calcular su superficie; así se hace la triangulación de catastros.
• Gráficos 3D: los videojuegos y las películas animadas representan toda superficie con millones de triángulos; calcular sus áreas y orientaciones es tarea constante de las tarjetas gráficas.
• Arquitectura e ingeniería: cerchas de techos, velas de barcos, frontones.

La necesidad de medir terrenos, en particular en el valle del Nilo, fue según el historiador griego Heródoto el origen mismo de la geometría, cuyo nombre significa «medida de la tierra».