Desviación estándar

La idea

Dos ciudades pueden tener la misma temperatura media anual, 22 °C, y climas totalmente distintos: una con 20 a 24 °C todo el año, otra con heladas en invierno y 40 °C en verano. La media no lo dice. La desviación estándar sí: mide la dispersión.

Cómo se construye

1. Calculá cuánto se aleja cada dato de la media: $x_i-\bar{x}$.
2. Esas desviaciones suman cero, así que no sirve promediarlas tal cual. Se elevan al cuadrado para que todas sean positivas.
3. Se promedian: eso es la varianza, ${\sigma }^2$.
4. Se saca la raíz cuadrada para volver a las unidades originales (cm, °C, guaraníes): eso es $\sigma$.

¿Por qué cuadrados y no valores absolutos? Porque los cuadrados tienen propiedades matemáticas mucho más cómodas: la varianza de una suma de variables independientes es la suma de las varianzas, y se conecta naturalmente con la distribución normal y con el método de mínimos cuadrados.

Población o muestra

Si los datos son una muestra de una población mayor, se divide por $n-1$ en lugar de $n$:

Esta corrección de Bessel compensa que la media de la muestra está, por construcción, más cerca de los propios datos que la media real.

Dónde se usa hoy

• Finanzas: la volatilidad de una acción es la desviación estándar de sus rendimientos; es la medida básica del riesgo.
• Industria: tolerancias de fabricación y metodología Seis Sigma.
• Encuestas: el margen de error depende de $\frac{\sigma }{\sqrt{n}}$.
• Ciencia: los resultados se informan como "valor ± desviación"; un descubrimiento en física de partículas exige que la señal supere 5 desviaciones estándar del ruido.
• Medicina: valores de laboratorio "normales" suelen definirse como la media ± 2σ de la población sana.