Identidad pitagórica

La idea

Dibujá una circunferencia de radio 1 centrada en el origen (la circunferencia unitaria). Un punto sobre ella, a un ángulo $\theta$ del eje horizontal, tiene coordenadas $(\cos \theta ,\sin \theta )$. Esa es, de hecho, la definición moderna de seno y coseno.

Por qué funciona

Desde el origen hasta el punto hay un segmento de longitud 1. Si bajamos una perpendicular al eje $x$, aparece un triángulo rectángulo con catetos $|\cos \theta |$ y $|\sin \theta |$ e hipotenusa 1. Pitágoras dice:

Como los cuadrados borran los signos, la identidad vale en los cuatro cuadrantes y para cualquier ángulo, incluso negativo o mayor que una vuelta. (Ojo con la notación: ${\sin }^2\theta$ significa $(\sin \theta {)}^2$.)

Sus parientes

Dividiendo toda la identidad por ${\cos }^2\theta$ o por ${\sin }^2\theta$ aparecen otras dos:

Y combinándola con la fórmula del ángulo doble se obtienen las de reducción de potencias, como ${\sin }^2\theta =\frac{1-\cos 2\theta }{2}$, imprescindibles para integrar.

Dónde se usa hoy

• Calcular un valor a partir del otro: si se sabe el seno, el coseno sale casi gratis (salvo el signo).
• Física: en un péndulo o un resorte, la energía total se reparte entre cinética y potencial como ${\sin }^2$ y ${\cos }^2$, y la suma constante es la conservación de la energía.
• Electricidad: en corriente alterna, la potencia se calcula con estas identidades.
• Programación gráfica: rotar un objeto conserva su tamaño justamente porque la matriz de rotación cumple ${\cos }^2+{\sin }^2=1$.