Ecuación de Schrödinger

Las partículas como ondas

En 1924 Louis de Broglie propuso una idea audaz: si la luz, que es una onda, se comporta a veces como partícula (los fotones), quizás los electrones, que son partículas, se comporten a veces como ondas, con longitud de onda $\lambda =\frac{h}{p}$. La pregunta obvia era: si el electrón es una onda, ¿qué ecuación obedece? Erwin Schrödinger la encontró.

Qué dice

La ecuación es a la mecánica cuántica lo que $F=ma$ es a la de Newton: dado el estado inicial y las fuerzas (representadas por el potencial $V$), predice cómo cambia el sistema. El término $-\frac{{\hslash }^2}{2m}{\nabla }^2\Psi$ corresponde a la energía cinética y $V\Psi$ a la potencial; juntos forman el hamiltoniano, la energía total.

Para estados de energía definida, se usa la versión independiente del tiempo:

Solo ciertos valores de $E$ admiten soluciones razonables. Así aparece la cuantización: aplicada al átomo de hidrógeno, la ecuación reproduce exactamente los niveles de energía $E_n=-\frac{13,6\text{ eV}}{n^2}$ y explica la tabla periódica.

¿Qué es la función de onda?

Schrödinger pensó que $\Psi$ era una onda de materia real. Max Born propuso en 1926 otra interpretación, que se impuso: $|\Psi {|}^2$ es la densidad de probabilidad de encontrar la partícula en cada lugar. La naturaleza, a escala atómica, es probabilística. Schrödinger nunca estuvo del todo conforme, y en 1935 ideó su famoso gato, a la vez vivo y muerto, para mostrar lo extraño de aplicar la teoría al mundo cotidiano.

Dónde se usa hoy

• Química: explica los enlaces y las formas de las moléculas; la química computacional resuelve aproximaciones de esta ecuación para diseñar fármacos y materiales.
• Electrónica: los transistores, los láseres y los LED se diseñan entendiendo cómo se comportan los electrones en sólidos.
• Efecto túnel: una partícula puede atravesar barreras que clásicamente no podría; así funcionan el microscopio de efecto túnel y las memorias flash.
• Computación cuántica: los cúbits evolucionan según esta ecuación.