Fórmula de Euler para poliedros
En todo poliedro convexo, el número de vértices menos el de aristas más el de caras da siempre 2, sin importar su forma ni su tamaño.
Un número que no cambia
Contá en un cubo: 8 vértices, 12 aristas, 6 caras. . En un tetraedro: . En un icosaedro: . En una pirámide de Giza (base cuadrada): . Siempre 2. Ese número, llamado característica de Euler (), no depende de longitudes ni ángulos: es una propiedad de la forma en un sentido más profundo.
Por qué funciona (idea de la demostración)
Imaginá que quitás una cara del poliedro y estirás el resto sobre un plano, como si fuera de goma: obtenés una red de polígonos con vértices, aristas y caras. Ahora simplificá la red paso a paso:
- Dividir un polígono con una diagonal suma una arista y una cara: no cambia.
- Borrar una arista exterior quita una arista y una cara: tampoco cambia.
Al final queda un solo triángulo: . Sumando la cara que habíamos quitado, .
Topología
La fórmula fue una de las semillas de la topología, la geometría donde una taza y una rosquilla son "lo mismo". Para una superficie con agujeros (un toro tiene ) la fórmula se generaliza a:
Un poliedro con forma de marco de cuadro da 0, no 2.
Dónde se usa hoy
- Gráficos por computadora: los programas de modelado 3D verifican que una malla de triángulos sea "cerrada" calculando .
- Química: los fullerenos (moléculas de carbono como el C₆₀, con forma de pelota de fútbol) deben tener exactamente 12 pentágonos, una consecuencia directa de la fórmula.
- Mapas: está detrás de la demostración de que bastan seis colores para un mapa (el paso previo al teorema de los cuatro colores).
Ejercicio resuelto
Una pelota de fútbol clásica es un icosaedro truncado con 32 caras (12 pentágonos y 20 hexágonos). ¿Cuántos vértices y aristas tiene?
Quién la creó
Leonhard Euler (con un antecedente en René Descartes)
1750–1752
Euler comunicó la relación en una carta a Christian Goldbach en noviembre de 1750 y la publicó poco después, sorprendido de que nadie la hubiera notado: ni Euclides ni Arquímedes la mencionan. Hacia 1630 Descartes había escrito un resultado equivalente sobre ángulos de poliedros, pero su manuscrito se perdió y solo se conoció en 1860 por una copia hecha por Leibniz. La prueba de Euler tenía lagunas; Cauchy dio otra en 1811, y los contraejemplos de Lhuilier mostraron que la fórmula exige poliedros sin agujeros.
Galería
Un prisma de base hexagonal tiene 12 vértices y 8 caras. ¿Cuántas aristas tiene?
Conexiones
Seguí el hilo
Suma de ángulos de un polígono
Los ángulos interiores de un polígono convexo de n lados suman (n − 2) veces 180 grados.
Identidad de Euler
Une en una sola ecuación las cinco constantes más importantes de la matemática: e, i, π, 1 y 0, con una suma, un producto y una potencia.
Problema de Basilea
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