Seno de la suma de ángulos

La idea

El seno no es lineal: $\sin (30^{\circ }+60^{\circ })=\sin 90^{\circ }=1$, pero $\sin 30^{\circ }+\sin 60^{\circ }\approx 1,37$. La fórmula de la suma dice cómo combinar correctamente los datos de cada ángulo. Su compañera es

y cambiando $\beta$ por $-\beta$ se obtienen las de la resta.

Por qué funciona

Una prueba geométrica clásica apila dos triángulos rectángulos: uno con ángulo $\alpha$ y, sobre su hipotenusa, otro con ángulo $\beta$ e hipotenusa 1. La altura total del vértice superior es $\sin (\alpha +\beta )$, y descomponiéndola en dos tramos aparecen exactamente $\sin \alpha \cos \beta$ y $\cos \alpha \sin \beta$.

La prueba más elegante usa la fórmula de Euler $e^{i\theta }=\cos \theta +i\sin \theta$:

Multiplicando y separando la parte imaginaria sale el seno de la suma; la parte real da el coseno. Sumar ángulos es, en el fondo, multiplicar números complejos.

Consecuencias

• Con $\alpha =\beta$ salen las fórmulas del ángulo doble.
• Permite calcular valores exactos: $\sin 75^{\circ }=\sin (45^{\circ }+30^{\circ })$.
• Sumando y restando las fórmulas se obtienen las de producto a suma, como $2\sin \alpha \cos \beta =\sin (\alpha +\beta )+\sin (\alpha -\beta )$.

Dónde se usa hoy

• Radio AM y FM: modular una señal es multiplicar ondas, y las fórmulas de producto a suma explican por qué aparecen frecuencias suma y diferencia.
• Música: el fenómeno de los "batidos" que se escucha al afinar dos cuerdas casi iguales.
• Gráficos 3D y robótica: componer dos rotaciones equivale a sumar ángulos.
• Historia de la computación: antes de los logaritmos, la prostaféresis usaba estas fórmulas para convertir multiplicaciones en sumas; Tycho Brahe la empleó en sus cálculos astronómicos.