Fórmula de De Moivre

La idea

Un número complejo $z=\cos \theta +i\sin \theta$ es un punto de la circunferencia unitaria a un ángulo $\theta$. Multiplicar complejos suma sus ángulos (es lo que dicen las fórmulas de la suma de senos y cosenos). Entonces multiplicar $z$ por sí mismo $n$ veces suma $\theta$ consigo mismo $n$ veces: el resultado está en el ángulo $n\theta$.

Para un complejo de módulo $r$ cualquiera:

Por qué funciona

Por inducción: vale para $n=1$, y si vale para $n$, multiplicar por $\cos \theta +i\sin \theta$ y aplicar las fórmulas de la suma da el caso $n+1$. Con la fórmula de Euler la prueba es de una línea: $(e^{i\theta }{)}^n=e^{in\theta }$.

Raíces de la unidad

Leída al revés, la fórmula encuentra raíces. Las soluciones de $z^n=1$ son

y forman un polígono regular de $n$ lados inscrito en la circunferencia. Todo número complejo distinto de cero tiene exactamente $n$ raíces $n$-ésimas, en sintonía con el teorema fundamental del álgebra.

Dónde se usa hoy

• Fórmulas trigonométricas: desarrollando $(\cos \theta +i\sin \theta {)}^3$ con el binomio de Newton e igualando partes se deduce $\cos 3\theta =4{\cos }^3\theta -3\cos \theta$ sin dibujar nada.
• Transformada rápida de Fourier (FFT): el algoritmo que permite comprimir MP3 y JPEG, o hacer videollamadas, se basa en las raíces de la unidad.
• Ingeniería eléctrica: los fasores de la corriente alterna se rotan y elevan con esta regla.