Teorema fundamental del álgebra

Los complejos bastan

La ecuación $x^2+1=0$ no tiene solución entre los números reales. Para resolverla se inventó $i=\sqrt{-1}$. La pregunta natural es: ¿habrá ecuaciones que obliguen a inventar números todavía más raros? El teorema fundamental responde que no: con los números complejos alcanza para resolver cualquier ecuación polinómica, de cualquier grado.

En consecuencia, todo polinomio de grado $n$ se descompone en $n$ factores lineales $(z-z_k)$. Si los coeficientes son reales, las raíces no reales vienen en pares conjugados $a\pm bi$, y el polinomio se factoriza en reales con factores de grado 1 y 2.

Idea de la demostración

Una prueba intuitiva es topológica. Si $z$ recorre un círculo muy grande, $p(z)$ se comporta como $a_n{z}^n$ y da $n$ vueltas alrededor del origen. Si $z$ recorre un círculo diminuto alrededor de 0, $p(z)$ queda cerca de $a_0$ y no rodea el origen. Al ir encogiendo el círculo de forma continua, el número de vueltas debe pasar de $n$ a 0, y la curva tiene que cruzar el origen en algún momento: ahí hay una raíz.

Existencia, no fórmula

El teorema asegura que las raíces existen, pero no dice cómo encontrarlas. Para grado 2, 3 y 4 hay fórmulas con radicales; para grado 5 o más, Abel y Galois probaron que no puede haber una fórmula general. En la práctica las raíces se calculan con métodos numéricos, como el de Newton.

Dónde se usa

• Ingeniería de control y electrónica: la estabilidad de un circuito o un avión depende de dónde están las raíces de un polinomio característico.
• Procesamiento de señales: los filtros digitales se diseñan ubicando ceros y polos en el plano complejo.
• Álgebra lineal: garantiza que toda matriz cuadrada tiene autovalores complejos.

Curioso: pese a su nombre, todas las demostraciones conocidas usan alguna herramienta de análisis o topología, no solo álgebra.