Ecuación de la recta
Toda recta no vertical del plano queda descrita por su pendiente m, que mide cuánto sube por cada paso a la derecha, y su ordenada al origen b.
La idea
Una recta es la curva más sencilla posible: cambia siempre al mismo ritmo. Si al avanzar una unidad hacia la derecha subimos unidades, al avanzar unidades subiremos . Sumando el punto de partida sobre el eje vertical obtenemos .
La pendiente
Dados dos puntos de la recta, la pendiente es el cociente "subida sobre avance":
Si la recta sube, si baja, si es horizontal. Las rectas verticales () no tienen pendiente definida porque , y por eso necesitan la forma general .
Por qué funciona
Que la pendiente sea la misma entre cualquier par de puntos es una consecuencia de la semejanza de triángulos (el teorema de Tales): los triángulos que forman la "subida" y el "avance" sobre una recta son todos semejantes. Por eso de un punto y la pendiente se deduce la forma punto-pendiente:
Dos rectas son paralelas si tienen igual pendiente, y perpendiculares si .
Dónde se usa hoy
- Física: en un movimiento uniforme, la posición es ; la velocidad es la pendiente.
- Economía: tarifas con un cargo fijo más un costo por unidad (como la ANDE o un taxi) son rectas.
- Estadística: la regresión lineal busca la recta que mejor se ajusta a una nube de datos.
- Cálculo: la derivada es la pendiente de la recta tangente; toda curva, vista muy de cerca, se parece a una recta.
Ejercicio resuelto
Una recta pasa por los puntos (2, 3) y (6, 11). Hallá su ecuación y el valor de y cuando x = 10.
Quién la creó
Pierre de Fermat y René Descartes (con antecedentes en Apolonio y Nicolás de Oresme)
c. 1636–1637
Apolonio de Perga ya estudiaba curvas con algo parecido a coordenadas en el siglo III a. C., y en el siglo XIV Nicolás de Oresme representaba cantidades variables con gráficos de líneas. Pero fue Fermat, en su "Introducción a los lugares planos y sólidos" (circulada hacia 1636), quien enunció que una ecuación de primer grado en dos incógnitas siempre describe una recta. Descartes llegó a ideas equivalentes en "La Géométrie" (1637). La notación moderna con m y b se impuso mucho después en los libros de texto.
¿Cuál es la pendiente de la recta que pasa por (1, 5) y (4, −1)?
Conexiones
Seguí el hilo
Distancia entre dos puntos
Mide la longitud del segmento que une dos puntos del plano a partir de sus coordenadas: es el teorema de Pitágoras escrito en el lenguaje de la geometría analítica.
Teorema de Tales
Si varias rectas paralelas cortan a dos transversales, los segmentos que determinan en una son proporcionales a los que determinan en la otra.
Definición de derivada
La derivada mide la rapidez con que cambia una función en un instante: es la pendiente de la recta tangente, obtenida como límite de pendientes de rectas secantes.
La tangente
La tangente de un ángulo mide cuánto se eleva una recta por cada unidad de avance horizontal: es la pendiente convertida en función trigonométrica.
Regla de tres
Si dos magnitudes son proporcionales, conocidos tres valores se calcula el cuarto.
Segunda ley de Newton
La fuerza neta sobre un cuerpo es igual a su masa por su aceleración: cuanto mayor la fuerza, más cambia el movimiento; cuanto mayor la masa, más se resiste.
La revolución científica
Cuando el ser humano aprendió a interrogar a la naturaleza
Progresión aritmética
Una sucesión en la que cada término se obtiene sumando siempre la misma diferencia al anterior, y la fórmula para sumar sus términos.
Determinante 2×2
Un solo número que indica cuánto estira o encoge áreas una matriz 2×2, y si un sistema de ecuaciones tiene solución única.
Regla de Cramer
Resuelve un sistema de ecuaciones lineales como cocientes de determinantes, siempre que el determinante del sistema no sea cero.