La tangente

La idea

En un triángulo rectángulo, la tangente de un ángulo agudo es el cociente entre el cateto opuesto y el cateto adyacente. Si una rampa avanza 10 m y sube 1 m, su ángulo cumple $\tan \theta =0,1$: la tangente es, literalmente, la pendiente. Por eso una recta $y=mx+b$ forma con el eje horizontal un ángulo $\theta$ tal que $m=\tan \theta$.

De dónde viene el nombre

En la circunferencia unitaria, trazá la recta vertical $x=1$, que toca la circunferencia en un solo punto: es una recta tangente a ella. Si prolongás el radio de ángulo $\theta$ hasta cortarla, la altura del corte es exactamente $\tan \theta$. De ahí el nombre: es la longitud de un segmento sobre la tangente geométrica. Por triángulos semejantes, esa altura es $\frac{\sin \theta }{\cos \theta }$.

Comportamiento

• $\tan 0^{\circ }=0$, $\tan 45^{\circ }=1$, y al acercarse a $90^{\circ }$ crece sin límite, porque $\cos \theta \to 0$. En $90^{\circ }$ no está definida: una recta vertical no tiene pendiente.
• Es periódica con período $180^{\circ }$ ($\pi$), no $360^{\circ }$ como el seno.
• Su inversa, $\arctan$, devuelve el ángulo a partir de la pendiente.
• Cumple $1+{\tan }^2\theta ={\sec }^2\theta$ y $\tan (\alpha +\beta )=\frac{\tan \alpha +\tan \beta }{1-\tan \alpha \tan \beta }$.

Dónde se usa hoy

• Medir alturas inaccesibles: con la distancia al pie de un edificio y el ángulo de elevación, la altura es $h=d\tan \theta$. Es el método de los topógrafos con su teodolito.
• Señales de tránsito: una pendiente del 8 % significa $\tan \theta =0,08$, unos $4,6^{\circ }$.
• Accesibilidad: las normas de rampas para sillas de ruedas fijan pendientes máximas (típicamente 1:12, es decir $\tan \theta \approx 0,083$).
• Cálculo: la derivada de una función en un punto es la tangente del ángulo que forma su recta tangente.