Regla de la cadena

La idea

Las tasas de cambio se encadenan multiplicándose. Si un engranaje A gira el doble de rápido que B, y B gira el triple de rápido que C, entonces A gira $2\times 3=6$ veces más rápido que C. La regla de la cadena dice exactamente eso para funciones: si $y$ depende de $u$ y $u$ depende de $x$,

En la notación de Leibniz parece que los $du$ "se cancelan". No es una prueba, pero es una excelente regla mnemotécnica, y una razón por la que esa notación se impuso.

Por qué funciona

Si $x$ cambia un poquito $\Delta x$, entonces $u=g(x)$ cambia aproximadamente $\Delta u\approx g^{\prime }(x)\Delta x$. Ese cambio en $u$ provoca en $y=f(u)$ un cambio $\Delta y\approx f^{\prime }(u)\Delta u$. Combinando:

y al dividir por $\Delta x$ y tomar el límite aparece la regla. (La prueba rigurosa cuida el caso en que $\Delta u$ pueda valer cero.)

Cómo se aplica

Para derivar $\sin (x^2)$: la función de afuera es el seno, la de adentro es $x^2$. Derivada de afuera evaluada adentro: $\cos (x^2)$. Por la derivada de adentro: $2x$. Resultado: $2x\cos (x^2)$. Se puede encadenar cualquier número de funciones, "pelando la cebolla" capa por capa.

Dónde se usa hoy

• Redes neuronales: el algoritmo de retropropagación (backpropagation), con el que se entrenan los modelos de inteligencia artificial, es la regla de la cadena aplicada de forma sistemática a millones de funciones compuestas.
• Tasas relacionadas: si se infla un globo, ¿qué tan rápido crece el radio sabiendo cuánto aire entra por segundo?
• Física: cambios de variables, como pasar de posición en función del tiempo a velocidad en función de la posición.
• Es la base de la integración por sustitución, su versión "al revés".