Distribución binomial

La idea

Tirar una moneda 10 veces, que un arquero ataje penales, que nazcan varones o mujeres, que una pieza salga defectuosa: muchos fenómenos se reducen a repetir un experimento de dos resultados (éxito o fracaso) con la misma probabilidad cada vez. Estos se llaman ensayos de Bernoulli, y la binomial cuenta cuántos éxitos salen.

Por qué funciona

Pensemos en 5 tiros libres con probabilidad $p=0,7$ de convertir. Una secuencia concreta con 3 aciertos, por ejemplo ✓✓✓✗✗, tiene probabilidad $0,7^3\cdot 0,3^2$, porque los tiros son independientes y las probabilidades se multiplican. Pero hay muchas secuencias con 3 aciertos: tantas como maneras de elegir qué 3 de los 5 tiros fueron aciertos, $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{3}\right)=10$. Sumándolas:

Esa es la fórmula. Los tres factores responden: ¿cuántos órdenes?, ¿probabilidad de los éxitos?, ¿probabilidad de los fracasos?

Propiedades

• Media: $\mu =np$. Si se tira 100 veces una moneda, se esperan 50 caras.
• Desviación estándar: $\sigma =\sqrt{np(1-p)}$. En 100 tiradas, $\sigma =5$.
• Las probabilidades suman 1, gracias al binomio de Newton: ${\sum }_k\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right)p^k(1-p{)}^{n-k}=(p+1-p{)}^n=1$.
• Para $n$ grande, la binomial se parece a una normal; ese fue el descubrimiento de De Moivre en 1733.

Dónde se usa hoy

• Medicina: ensayos clínicos que cuentan cuántos pacientes responden a un tratamiento o a una vacuna.
• Control de calidad: decidir si un lote es aceptable por la cantidad de defectuosos de una muestra.
• Encuestas: la proporción de votantes de un candidato en una muestra.
• Genética: probabilidades de herencia mendeliana en una familia con varios hijos.
• Deportes y apuestas: probabilidades de rachas o de ganar series al mejor de 5 o 7 partidos.