Fórmulas de Vieta

Raíces escondidas en los coeficientes

Si un polinomio cuadrático tiene raíces $x_1$ y $x_2$, puede escribirse como $a(x-x_1)(x-x_2)$. Al multiplicar:

Comparando con $a{x}^2+bx+c$ término a término, sale que $x_1+x_2=-\frac{b}{a}$ y $x_1{x}_2=\frac{c}{a}$. Así de simple.

Para cualquier grado

Lo mismo vale para polinomios de grado $n$. Para $x^3+p{x}^2+qx+r$, con raíces $x_1,x_2,x_3$:

Cada coeficiente es, con signos alternados, una función simétrica de las raíces: no cambia si se las reordena. Esa observación, estudiada por Lagrange y Galois, llevó a entender por qué las ecuaciones de grado 5 no tienen fórmula general.

Usos prácticos

• Adivinar raíces: para $x^2-7x+10=0$ buscamos dos números que sumen 7 y multipliquen 10: son 2 y 5. Es la base del método de factorización que se enseña en secundaria.
• Calcular sin resolver: expresiones como $x_1^2+x_2^2$ o $\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}$ se obtienen directamente de la suma y el producto.
• Construir ecuaciones: una cuadrática con raíces $3$ y $-4$ es $x^2-(3-4)x+(3)(-4)=x^2+x-12$.
• Comprobar: después de resolver con la fórmula cuadrática, sumar y multiplicar las raíces es un control rápido.

En álgebra avanzada, las fórmulas de Vieta conectan con el teorema fundamental del álgebra, que garantiza que todo polinomio de grado $n$ tiene exactamente $n$ raíces complejas contando multiplicidades.