Leyes de los exponentes

Contar factores

Una potencia es una multiplicación repetida: $2^3=2\cdot 2\cdot 2$. Las leyes salen de contar factores:

Al multiplicar se suman los exponentes; al dividir se cancelan factores y se restan; al elevar una potencia a otra, $(2^3{)}^2=2^3\cdot 2^3$, se multiplican.

Exponentes cero, negativos y fraccionarios

¿Qué significa $2^0$ o $2^{-3}$? No tiene sentido multiplicar el 2 «cero veces». Los matemáticos los definieron de la única forma que mantiene válidas las leyes:

• Como $\frac{a^n}{a^n}=1$ y también $=a^{n-n}=a^0$, debe ser $a^0=1$.
• Como $a^{-n}\cdot a^n=a^0=1$, debe ser $a^{-n}=\frac{1}{a^n}$.
• Como $(a^{1/2}{)}^2=a^1$, debe ser $a^{1/2}=\sqrt{a}$.

Es un ejemplo hermoso de cómo la matemática extiende sus conceptos para que las reglas sigan funcionando.

Notación científica

Las leyes de exponentes hacen manejables las cifras astronómicas y microscópicas. La distancia de la Tierra al Sol es $1,5\times 10^8$ km; la luz viaja a $3\times 10^5$ km/s. El tiempo que tarda en llegar es

unos 8 minutos y 20 segundos.

Dónde se usa

Crecimiento de poblaciones e interés compuesto, decaimiento radiactivo, prefijos de unidades (kilo $=10^3$, nano $=10^{-9}$), almacenamiento informático ($2^{10}=1024$ bytes en un kibibyte) y todas las fórmulas de la física. Son, además, el fundamento de los logaritmos.

Cuidado: $(a+b{)}^2\ne a^2+b^2$. Las leyes valen para productos, no para sumas.