Volumen del cono
Un cono ocupa exactamente la tercera parte del cilindro de igual base y altura.
Un tercio exacto
Si se llena un cono de agua y se vuelca en un cilindro con la misma base y la misma altura, hacen falta tres conos para llenarlo. Por eso
El mismo factor vale para cualquier pirámide: una pirámide de base cuadrada es un tercio del prisma que la contiene. El cono es simplemente una pirámide de base circular.
¿Por qué un tercio?
Una explicación elegante: un cubo puede dividirse en tres pirámides iguales de base cuadrada que comparten un vértice. Cada una tiene la misma base y altura que el cubo, así que vale un tercio. Por el principio de Cavalieri, toda pirámide o cono con igual base y altura tiene el mismo volumen.
Con cálculo, el corte a altura medida desde el vértice es un círculo de radio , y
El sale de integrar : es el mismo de la regla de la potencia.
Una sorpresa en la copa
Como el volumen crece con el cubo de la altura, una copa cónica llena hasta la mitad de su altura contiene solo de su capacidad. Para tener la mitad del volumen, hay que llenarla hasta el 79 % de la altura ().
Dónde se usa
- Volcanes: se estima el volumen de conos volcánicos y montañas de escombros.
- Construcción y minería: pilas de arena, grava o granos forman conos con un ángulo de reposo característico.
- Industria: tolvas, embudos, conos de tráfico y puntas de cohetes.
- Gastronomía: cucuruchos de helado y copas de cóctel.
Ejercicio resuelto
Un cucurucho de helado tiene 6 cm de diámetro en la boca y 12 cm de profundidad. ¿Cuánto helado cabe dentro (sin la bocha de arriba)?
Quién la creó
Demócrito (enunciado) y Eudoxo de Cnido (demostración)
s. V – IV a. C.
Los egipcios ya calculaban volúmenes de pirámides truncadas: el problema 14 del papiro de Moscú, de hacia 1850 a. C., lo resuelve correctamente. En el prefacio de El método, Arquímedes cuenta que Demócrito, el filósofo del atomismo, fue el primero en afirmar que el cono es la tercera parte del cilindro, aunque sin demostrarlo, y que Eudoxo de Cnido dio la primera prueba rigurosa con el método de exhaución. Esa demostración aparece en la proposición 10 del libro XII de los Elementos de Euclides.
Galería
Un cono tiene radio 4 cm y altura 9 cm. ¿Cuál es su volumen?
Conexiones
Seguí el hilo
Volumen del cilindro
El volumen de un cilindro es el área de su base circular multiplicada por su altura.
Volumen de la esfera
El volumen de una esfera es cuatro tercios de π por el cubo del radio: dos tercios del cilindro que la contiene.
Arquímedes
El genio de Siracusa que midió la esfera y desafió a Roma
Las pirámides de Giza
La única maravilla del mundo antiguo que sigue en pie
Volcanes
Ventanas al fuego interior del planeta
El átomo
Lo indivisible que resultó divisible
Regla de la potencia
Para derivar una potencia se baja el exponente multiplicando y se le resta uno; para integrarla se suma uno al exponente y se divide por el nuevo exponente.