Superficie de la esfera

Cuatro círculos

Una naranja de radio $r$ tiene una cáscara cuya área es igual a la de cuatro círculos de radio $r$. Se puede comprobar en la cocina: se dibujan cuatro círculos del tamaño de la naranja, se la pela y se rellenan con los trozos de cáscara. Alcanza justo.

La etiqueta de Arquímedes

Arquímedes probó que la superficie de la esfera es igual a la superficie lateral del cilindro que la envuelve: un rectángulo de base $2\pi r$ y altura $2r$, es decir $4\pi r^2$. Hay un hecho más fino: si se proyecta horizontalmente cada punto de la esfera sobre el cilindro, las áreas se conservan. Esta proyección de Lambert, de 1772, se usa en cartografía para hacer mapas en los que los países mantienen su tamaño real.

Relación con el volumen

Si la esfera se imagina formada por muchísimas pirámides finas con vértice en el centro y base en la superficie, todas de altura $r$, su volumen total es $\frac{1}{3}\cdot S\cdot r$. Con $S=4\pi r^2$ sale $V=\frac{4}{3}\pi r^3$. Y al revés: la derivada del volumen respecto del radio es la superficie,

porque agregar una capa delgada de espesor $dr$ suma un volumen $S\cdot dr$.

La ley del cuadrado inverso

La luz de una estrella, el sonido de una explosión o la gravedad se reparten sobre esferas cada vez más grandes. A distancia $d$, la energía se distribuye en $4\pi d^2$; al doble de distancia, el área es cuatro veces mayor y la intensidad, cuatro veces menor. De ahí viene el cuadrado inverso de la ley de gravitación universal y de la ley de Coulomb.

Dónde se usa

Cálculo de la superficie terrestre y de los océanos, pintura de tanques esféricos, intensidad de radiación solar que llega a cada planeta, y biología: las células pequeñas tienen más superficie por unidad de volumen, lo que facilita el intercambio de nutrientes.