Teorema de Tales
Si varias rectas paralelas cortan a dos transversales, los segmentos que determinan en una son proporcionales a los que determinan en la otra.
Paralelas que reparten proporcionalmente
Imaginemos las líneas de un cuaderno, todas paralelas, y dos rectas inclinadas que las atraviesan. El teorema dice que los segmentos cortados en una transversal guardan la misma proporción que los cortados en la otra. Si en una los tramos miden 2 y 3 cm, y en la otra el primero mide 4 cm, el segundo medirá 6 cm.
Una consecuencia directa: una paralela a un lado de un triángulo corta a los otros dos lados en un triángulo semejante al original, con los mismos ángulos y lados proporcionales. Toda la teoría de la semejanza descansa sobre este hecho.
Medir lo inalcanzable
La aplicación más famosa usa sombras. Los rayos del Sol llegan prácticamente paralelos, así que un palo vertical y su sombra forman un triángulo semejante al que forman una pirámide y la suya:
Con un palo y una cinta métrica se calcula la altura de un edificio, un árbol o una torre de alta tensión sin subir a ella.
El otro teorema de Tales
También se atribuye a Tales este resultado: todo triángulo inscrito en una semicircunferencia, con el diámetro como lado, es rectángulo. El ángulo opuesto al diámetro siempre mide . Se demuestra uniendo el vértice con el centro: aparecen dos triángulos isósceles, y la suma de ángulos fuerza el ángulo recto.
Dónde se usa hoy
- Planos, mapas y maquetas: las escalas son aplicaciones directas de la proporcionalidad.
- Fotografía y visión: la cámara oscura y la lente proyectan imágenes semejantes al objeto.
- Dibujo técnico: dividir un segmento en partes iguales con regla y compás, trazando paralelas.
- Topografía: medir anchos de ríos o distancias inaccesibles con triángulos semejantes.
Tales es considerado el primer matemático griego conocido por su nombre y el primero en buscar demostraciones en lugar de recetas.
Ejercicio resuelto
A cierta hora, un palo de 1,5 m proyecta una sombra de 2 m, y un lapacho proyecta una sombra de 12 m. ¿Qué altura tiene el árbol?
Quién la creó
Tales de Mileto
c. 600 a. C.
Tales de Mileto, que vivió hacia el 624–546 a. C., es considerado el primero de los Siete Sabios de Grecia. Según Diógenes Laercio, que cita a Jerónimo de Rodas, en Egipto midió la altura de las pirámides observando su sombra en el momento en que la sombra de una persona igualaba su estatura; Plutarco narra una versión con un bastón y triángulos proporcionales. Heródoto le atribuye haber predicho un eclipse, que se fecha en el 585 a. C. Ninguna obra suya se conserva, y la demostración rigurosa de la proporcionalidad está en el libro VI de los Elementos de Euclides.
Un poste de 3 m da una sombra de 4 m. ¿Qué altura tiene un edificio cuya sombra mide 20 m a la misma hora?
Conexiones
Seguí el hilo
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Antiguo Egipto
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Filosofía griega
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Pitágoras
El sabio de Samos que vio números en todas las cosas
Regla de tres
Si dos magnitudes son proporcionales, conocidos tres valores se calcula el cuarto.
Suma de ángulos de un polígono
Los ángulos interiores de un polígono convexo de n lados suman (n − 2) veces 180 grados.
Antigua Grecia
Ciudades de mármol que inventaron la democracia
Ecuación de la recta
Toda recta no vertical del plano queda descrita por su pendiente m, que mide cuánto sube por cada paso a la derecha, y su ordenada al origen b.
La tangente
La tangente de un ángulo mide cuánto se eleva una recta por cada unidad de avance horizontal: es la pendiente convertida en función trigonométrica.