Suma de ángulos de un polígono

Todo empieza en el triángulo

Los tres ángulos de cualquier triángulo suman $180^{\circ }$. Para verlo, se traza por un vértice una recta paralela al lado opuesto: los dos ángulos que se forman a los costados son iguales a los otros dos ángulos del triángulo (por ser alternos internos), y junto con el ángulo del vértice completan una línea recta, es decir $180^{\circ }$.

Dividir en triángulos

Desde un vértice de un polígono convexo de $n$ lados se pueden trazar diagonales hacia todos los vértices no vecinos. Así el polígono queda dividido en $n-2$ triángulos, y sus ángulos componen exactamente los ángulos del polígono:

• Triángulo ($n=3$): suma $180^{c}irc$, ángulo regular $60^{c}irc$.
• Cuadrado ($n=4$): suma $360^{c}irc$, ángulo regular $90^{c}irc$.
• Pentágono ($n=5$): suma $540^{c}irc$, ángulo regular $108^{c}irc$.
• Hexágono ($n=6$): suma $720^{c}irc$, ángulo regular $120^{c}irc$.

Los ángulos exteriores, en cambio, siempre suman $360^{\circ }$, sea cual sea el polígono: si se camina por el borde, al volver al punto de partida se ha dado exactamente una vuelta completa.

Las abejas y los mosaicos

Para cubrir el plano con baldosas regulares iguales sin dejar huecos, el ángulo interior debe dividir a $360^{\circ }$. Solo funcionan el triángulo (6 por vértice), el cuadrado (4) y el hexágono (3). Las abejas eligen el hexágono, que entre esas tres opciones encierra más área con el mismo perímetro: menos cera por miel. Thomas Hales demostró en 1999 que es la forma óptima.

Más allá de Euclides

El resultado depende del postulado de las paralelas. Sobre una esfera, un triángulo con un vértice en el Polo Norte y dos en el ecuador puede tener tres ángulos rectos: $270^{\circ }$. En las geometrías no euclidianas, la suma difiere de $180^{\circ }$, y la relatividad general muestra que el espacio real puede curvarse así cerca de grandes masas.