Aproximación de Stirling

Factoriales que explotan

El factorial crece de forma brutal: $10!=\mathrm{3.628.800}$, $20!$ tiene 19 cifras y $52!$, el número de formas de mezclar un mazo de cartas, tiene 68. Calcularlos multiplicando es inviable, pero la fórmula de Stirling da su tamaño casi exacto con unas pocas operaciones.

Lo notable es que $n!$, un producto de enteros, se aproxime con $\pi$ y $e$, dos números que en principio vienen de los círculos y del crecimiento continuo.

De dónde sale

Tomando logaritmos, el producto se convierte en suma:

Eso ya explica el factor ${\left(\frac{n}{e}\right)}^n$. El término $\sqrt{2\pi n}$ es una corrección más fina: aparece al escribir $n!$ como la integral ${\int }_0^{\infty }{x}^n{e}^{-x}dx$ y aproximar el integrando por una campana de Gauss, cuya área involucra $\sqrt{\pi }$.

Precisión

El error relativo se achica a medida que $n$ crece, aproximadamente como $\frac{1}{12n}$: para $n=10$ la fórmula se equivoca en menos del 1 %, y para $n=100$, en menos del 0,1 %. Agregando el factor $\left(1+\frac{1}{12n}\right)$ el error baja muchísimo más.

Dónde se usa

• Física estadística: la entropía de Boltzmann cuenta configuraciones con factoriales de números del orden de $10^{23}$; Stirling permite manejarlos.
• Probabilidad: muestra que la distribución binomial se parece a la normal, y que la probabilidad de sacar exactamente 50 caras en 100 tiradas es $\approx \frac{1}{\sqrt{50\pi }}\approx 8\%$.
• Informática: prueba que ordenar $n$ datos por comparaciones requiere del orden de $n\log n$ pasos.