Interés compuesto

Interés sobre interés

Con interés simple, ₲ 1.000.000 al 10 % anual gana siempre ₲ 100.000 por año. Con interés compuesto, los intereses de cada período se suman al capital y empiezan a producir intereses ellos mismos. Tras un año hay 1.100.000; tras dos, $\mathrm{1.100.000}\cdot 1,1=\mathrm{1.210.000}$; tras tres, 1.331.000. Cada año se multiplica por $1,1$:

Si el banco capitaliza $n$ veces por año, se aplica la tasa $\frac{r}{n}$ unas $nt$ veces, y se llega a la fórmula general.

Crecimiento exponencial

Como el tiempo está en el exponente, el crecimiento es exponencial: al principio parece lento y después se dispara. Una regla práctica es la regla del 72: el capital se duplica en aproximadamente $\frac{72}{\text{tasa}\%}$ años. Al 8 % anual, cerca de 9 años.

Lo mismo vale al revés: una deuda de tarjeta al 3 % mensual se multiplica por $1,03^{12}\approx 1,43$ en un año, un 43 % más.

El nacimiento del número e

¿Qué pasa si capitalizamos cada vez más seguido, cada día, cada segundo? Con una tasa del 100 % y $n\to \infty$:

Ese límite, estudiado por Jacob Bernoulli en 1683, es el origen del número e, y da la fórmula del interés continuo $A=P{e}^{rt}$.

Dónde se usa

Ahorros, préstamos e hipotecas, inflación (que erosiona el dinero de forma compuesta), crecimiento de poblaciones, de bacterias y de economías enteras. Para despejar el tiempo se necesitan logaritmos: $t=\frac{\log (A/P)}{\log (1+r)}$.