Distribución normal
La famosa campana de Gauss describe cómo se reparten las mediciones alrededor de un promedio cuando influyen muchos factores pequeños e independientes.
La campana
La estatura de los adultos, los errores de medición de un instrumento, las notas de un examen masivo: si se grafica cuántas veces aparece cada valor, casi siempre surge la misma forma, una campana simétrica alrededor del promedio . Su ancho lo da la desviación estándar . El factor asegura que el área total sea 1, gracias a la integral de Gauss.
La regla 68–95–99,7
En una normal:
- cerca del 68 % de los datos cae entre y ;
- cerca del 95 %, entre y ;
- cerca del 99,7 %, entre y .
Para comparar valores de distintas normales se usa la puntuación z: , que cuenta cuántas desviaciones se aleja un dato del promedio.
Por qué aparece en todos lados
La razón profunda es el teorema central del límite: la suma (o el promedio) de muchas variables aleatorias independientes tiende a una normal, sin importar cómo sea cada una por separado. La estatura depende de cientos de genes y factores ambientales que se suman; un error de medición es la suma de muchos pequeños errores. El tablero de Galton, donde bolitas rebotan en filas de clavos, muestra la campana formándose ante los ojos.
Pero no todo es normal: los ingresos, el tamaño de las ciudades o las caídas de la bolsa tienen "colas pesadas", y suponer normalidad ahí puede ser peligroso.
Dónde se usa hoy
- Control de calidad: la metodología Seis Sigma busca que los defectos estén a más de seis desviaciones del objetivo.
- Medicina: las curvas de crecimiento infantil y los rangos de referencia de los análisis.
- Ciencia: los márgenes de error de las encuestas y el criterio de "5 sigma" con que se anunció el bosón de Higgs en 2012.
- Finanzas e ingeniería: modelos de riesgo y de ruido en señales.
Ejercicio resuelto
Las estaturas de un grupo de reclutas siguen una normal con media 170 cm y desviación estándar 6 cm. ¿Qué porcentaje mide entre 164 y 182 cm?
Quién la creó
Abraham de Moivre; Carl Friedrich Gauss; Pierre-Simon Laplace
1733; 1809; 1810
Abraham de Moivre descubrió la curva en 1733 como aproximación a la distribución binomial cuando se tiran muchas monedas, y la incluyó en la segunda edición de "The Doctrine of Chances" (1738). Gauss la convirtió en la ley de los errores de medición en 1809, al calcular órbitas como la del asteroide Ceres, y por eso se la llama "campana de Gauss". Laplace probó en 1810 una versión del teorema central del límite. El nombre "normal" se impuso a fines del siglo XIX con Galton y Pearson.
Galería
En una normal con μ = 100 y σ = 15, ¿qué porcentaje aproximado está por encima de 130?
Conexiones
Seguí el hilo
Integral de Gauss
El área total bajo la curva en forma de campana e^(−x²) es exactamente la raíz cuadrada de π, aunque esa función no tiene una antiderivada elemental.
Desviación estándar
Mide cuánto se alejan, en promedio, los datos de su media: una desviación chica indica datos agrupados y una grande, datos dispersos.
Media aritmética
El promedio de toda la vida: se suman todos los valores y se divide por la cantidad. Es el punto de equilibrio de un conjunto de datos.
Distribución binomial
Da la probabilidad de obtener exactamente k éxitos en n intentos independientes, cuando cada intento tiene la misma probabilidad p de éxito.
Teorema de Bayes
Indica cómo actualizar la probabilidad de una hipótesis cuando aparece nueva evidencia; es la matemática de aprender de los datos.
Genética
Del jardín de un monasterio a la edición de genes
El método científico
La herramienta más poderosa que inventó la humanidad
Aproximación de Stirling
Estima el factorial de un número grande con potencias, π y e, con un error relativo que tiende a cero.
Fórmula de De Moivre
Elevar a la n un número complejo de módulo 1 equivale a multiplicar su ángulo por n: conecta las potencias de los números complejos con la trigonometría.