Propiedades de los logaritmos

Los logaritmos transforman productos en sumas, cocientes en restas y potencias en multiplicaciones.

Qué es un logaritmo

El logaritmo responde a la pregunta: ¿a qué exponente hay que elevar la base para obtener un número? Como $1 0^{3} = 1000$ , decimos que $lo g_{10} 1000 = 3$ . Como $2^{10} = 1024$ , $lo g_{2} 1024 = 10$ .

Por qué valen las propiedades

Todas se deducen de las leyes de los exponentes. Si $x = b^{m}$ e $y = b^{n}$ , entonces $x y = b^{m + n}$ , así que

lo g_{b} (x y) = m + n = lo g_{b} x + lo g_{b} y

Del mismo modo, dividir resta exponentes y elevar a una potencia los multiplica. También es útil el cambio de base: $lo g_{b} x = \frac{l o g x}{l o g b}$ .

La máquina de calcular del siglo XVII

Antes de las calculadoras, multiplicar dos números de siete cifras llevaba mucho tiempo y era fácil equivocarse. Con una tabla de logaritmos, bastaba buscar los dos logaritmos, sumarlos y buscar el número correspondiente. Pierre-Simon Laplace dijo que los logaritmos, al abreviar los cálculos, «duplicaron la vida de los astrónomos». La regla de cálculo, que usaron los ingenieros hasta los años 70 (también en el programa Apolo), es una tabla de logaritmos deslizante.

Escalas logarítmicas

Cuando una magnitud abarca muchos órdenes de magnitud, se mide en escala logarítmica:

Terremotos: cada punto de magnitud equivale a unas 32 veces más energía liberada.
Sonido: los decibeles; 10 dB más es 10 veces más intensidad.
Química: el pH es menos el logaritmo de la concentración de iones hidrógeno.
Música: las octavas duplican la frecuencia; el teclado del piano es logarítmico.

Y en informática, $lo g_{2} n$ mide cuántas veces hay que partir algo a la mitad: buscar en una lista ordenada de mil millones de datos requiere apenas unos 30 pasos.