Teorema de Bayes

La idea

La probabilidad de "tener fiebre si se tiene dengue" no es lo mismo que la de "tener dengue si se tiene fiebre". Confundirlas es uno de los errores de razonamiento más comunes, en medicina, en tribunales y en la vida diaria. El teorema de Bayes es la herramienta para "dar vuelta" una probabilidad condicional.

Por qué funciona

Parte de la definición de probabilidad condicional. La probabilidad de que ocurran $A$ y $B$ a la vez puede escribirse de dos formas:

Despejando $P(A\mid B)$ sale el teorema. El denominador suele calcularse con la probabilidad total: $P(B)=P(B\mid A)P(A)+P(B\mid \neg A)P(\neg A)$.

La paradoja de los falsos positivos

Supongamos una enfermedad que afecta a 1 de cada 1000 personas y un test que detecta el 99 % de los casos, con un 2 % de falsos positivos. Si alguien da positivo, ¿cuál es la probabilidad de que esté enfermo? La intuición dice "99 %". Bayes dice algo muy distinto (ver el ejemplo): menos del 5 %. La razón es que, al ser rara la enfermedad, los falsos positivos de la enorme mayoría sana superan en número a los verdaderos positivos. La probabilidad previa importa muchísimo.

Dónde se usa hoy

• Medicina: interpretar análisis y decidir si conviene un segundo estudio.
• Filtros de spam: los clasificadores bayesianos calculan la probabilidad de que un correo sea basura según las palabras que contiene.
• Inteligencia artificial: el aprendizaje automático bayesiano, los autos autónomos que estiman su posición con datos ruidosos, y los modelos de lenguaje, que razonan sobre probabilidades.
• Búsquedas: la Marina de EE. UU. aplicó búsqueda bayesiana para localizar el submarino USS Scorpion en 1968, y técnicas similares se usaron para encontrar los restos del vuelo Air France 447 en 2011.
• Ciencia: es la base de la estadística bayesiana, que trata las probabilidades como grados de creencia que se actualizan con cada experimento.