Media aritmética
El promedio de toda la vida: se suman todos los valores y se divide por la cantidad. Es el punto de equilibrio de un conjunto de datos.
La idea
Si cinco amigos tienen 10 000, 20 000, 30 000, 40 000 y 150 000 guaraníes y los juntan para repartirlos en partes iguales, a cada uno le tocan . Eso es la media: el valor que tendrían todos si se igualaran.
El centro de gravedad
La media es, literalmente, un punto de equilibrio. Si se colocan pesas iguales sobre una regla en las posiciones de los datos, la regla se equilibra en . Matemáticamente, las desviaciones respecto de la media suman cero:
Además, la media es el número que hace mínima la suma de los cuadrados de las distancias a los datos, lo que la conecta con el método de mínimos cuadrados y la desviación estándar.
Sus límites
En el ejemplo de los amigos, cuatro de cinco tienen menos que el promedio. La media es muy sensible a los valores extremos: un solo millonario en un barrio dispara el "ingreso promedio". Por eso en economía se prefiere a menudo la mediana (el valor del medio al ordenar los datos), que no se deja arrastrar. Hay también otras medias:
- media ponderada: , como el promedio de notas con distinta carga horaria;
- media geométrica, para tasas de crecimiento;
- media armónica, para promediar velocidades en tramos iguales.
Por qué funciona tan bien: la ley de los grandes números
Al promediar muchas mediciones independientes, la media se acerca cada vez más al valor verdadero, y su error se reduce como . Por eso los científicos repiten experimentos y promedian.
Dónde se usa hoy
- Educación: promedios de calificaciones.
- Meteorología: temperaturas medias y "normales climáticas" de 30 años.
- Deportes: promedio de goles, de bateo o de puntos por partido.
- Industria: control de procesos, comparando la media de una muestra con el valor objetivo.
Ejercicio resuelto
Un estudiante tiene notas 3, 4 y 5 en materias de 2, 3 y 5 créditos respectivamente. Calculá la media simple y la ponderada por créditos.
Quién la creó
Pitagóricos (teoría de medias); astrónomos de la Edad Moderna; Thomas Simpson
siglo VI a. C.; siglos XVI–XVIII
Los pitagóricos estudiaron la media aritmética junto con la geométrica y la armónica, vinculándolas a la teoría musical. Sin embargo, usar el promedio de muchas observaciones para estimar un valor verdadero no fue práctica habitual hasta la astronomía moderna: Tycho Brahe, en el siglo XVI, combinaba mediciones repetidas. En 1755 Thomas Simpson argumentó matemáticamente que promediar reduce el error, y en el siglo XIX Gauss y Laplace dieron la justificación probabilística.
¿Cuál es la media de 8, 12, 15 y 25?
Conexiones
Seguí el hilo
Desviación estándar
Mide cuánto se alejan, en promedio, los datos de su media: una desviación chica indica datos agrupados y una grande, datos dispersos.
Valor esperado
Es el promedio que se obtendría a la larga si un experimento aleatorio se repitiera muchísimas veces: cada resultado pesa según su probabilidad.
Distribución normal
La famosa campana de Gauss describe cómo se reparten las mediciones alrededor de un promedio cuando influyen muchos factores pequeños e independientes.
Suma de Gauss
La suma de los primeros n números naturales es igual a n por n+1, dividido entre dos.
Progresión aritmética
Una sucesión en la que cada término se obtiene sumando siempre la misma diferencia al anterior, y la fórmula para sumar sus términos.
Pitágoras
El sabio de Samos que vio números en todas las cosas
El método científico
La herramienta más poderosa que inventó la humanidad
Teorema del valor medio
Si una función es suave en un intervalo, en algún punto intermedio su velocidad instantánea coincide exactamente con su velocidad promedio.