Progresión aritmética

Pasos iguales

En la sucesión $5,8,11,14,17,\dots$ cada número es el anterior más $3$. Es una progresión aritmética con diferencia $d=3$. Para llegar al término $n$ partiendo del primero se dan $n-1$ pasos de tamaño $d$, de ahí la fórmula $a_n=a_1+(n-1)d$. El término 100 de esta sucesión es $5+99\cdot 3=302$, sin escribir los anteriores.

En un gráfico, los términos quedan sobre una recta: la progresión aritmética es la versión discreta de una función lineal, con la diferencia $d$ como pendiente.

La suma: el truco de Gauss generalizado

Para sumar, se escribe la suma al derecho y al revés. Cada par «primero + último», «segundo + penúltimo»… da lo mismo: $a_1+a_n$. Hay $n$ pares en la suma doble, así que

En palabras: la suma es la cantidad de términos por el promedio entre el primero y el último. La suma de Gauss $1+2+\cdots +n$ es el caso $a_1=1$, $d=1$.

Dónde aparece

• Ahorro: depositar ₲ 50.000 el primer mes y aumentar ₲ 10.000 cada mes.
• Física: un objeto en caída libre recorre en segundos sucesivos distancias en progresión aritmética (1, 3, 5, 7… unidades), como descubrió Galileo.
• Construcción: filas de butacas en un anfiteatro, escalones, pilas de ladrillos o de troncos.
• Calendario: los días de la semana se repiten con diferencia 7; si el 3 es lunes, también lo son el 10, 17, 24 y 31.

Una consecuencia elegante: la suma de los primeros $n$ números impares es $n^2$. Con $a_1=1$, $a_n=2n-1$: $S_n=\frac{n(1+2n-1)}{2}=n^2$.