Suma de Gauss

La idea del emparejamiento

Sumar del 1 al 100 de a uno es tedioso. El truco consiste en escribir la suma dos veces, una al derecho y otra al revés, y sumar columna por columna:

Cada columna suma exactamente $101$, y hay $100$ columnas. Por lo tanto $2S=100\cdot 101$, y $S=5050$. En general, $2S=n(n+1)$, de donde sale la fórmula.

Por qué funciona

La clave es la simetría: el primer término más el último es igual al segundo más el penúltimo, y así sucesivamente. Geométricamente, si apilás $1,2,3,\dots ,n$ piedritas formando una escalera, obtenés un triángulo; dos escaleras iguales encajan en un rectángulo de $n\times (n+1)$, y el triángulo es la mitad. Por eso los números $\frac{n(n+1)}{2}$ se llaman números triangulares: 1, 3, 6, 10, 15, 21…

La fórmula también puede demostrarse por inducción matemática: vale para $n=1$, y si vale para $n$, al sumar $n+1$ se obtiene $\frac{n(n+1)}{2}+(n+1)=\frac{(n+1)(n+2)}{2}$.

Dónde aparece hoy

• Informática: un algoritmo que compara cada elemento de una lista con todos los demás hace $\frac{n(n-1)}{2}$ comparaciones; por eso se dice que su costo crece como $n^2$.
• Torneos: en un campeonato de todos contra todos con $n$ equipos se juegan $\frac{n(n-1)}{2}$ partidos.
• Apretones de manos: si 30 personas se saludan todas entre sí, hay $435$ saludos.

Es el caso más sencillo de una progresión aritmética, y la puerta de entrada a las fórmulas de sumas de cuadrados y cubos.