Valor esperado

La idea

Un dado justo da 1, 2, 3, 4, 5 o 6, cada uno con probabilidad $\frac{1}{6}$. Su valor esperado es

Nunca sale 3,5 en una tirada, pero si se tira mil veces y se promedian los resultados, el promedio estará muy cerca de 3,5. El valor esperado es una media ponderada por probabilidades, y la ley de los grandes números garantiza que el promedio real converge a él.

Para decidir

Su gran uso es evaluar apuestas y decisiones. Un juego es justo si su valor esperado de ganancia es cero. En la ruleta europea, apostar 1 al rojo da $+1$ con probabilidad $\frac{18}{37}$ y $-1$ con $\frac{19}{37}$:

En promedio, se pierde un 2,7 % de cada apuesta. Esa diferencia mínima es la ganancia segura del casino: a la larga, la casa siempre gana.

Propiedades

• Linealidad: $E[aX+bY]=aE[X]+bE[Y]$, siempre, incluso si $X$ e $Y$ no son independientes. Este truco resuelve problemas que parecen imposibles.
• La varianza se define con él: $\mathrm{Var}(X)=E[(X-E[X]{)}^2]$.
• Para variables continuas, la suma se convierte en integral: $E[X]=\int xf(x)dx$.

Sus límites

El valor esperado no lo es todo. En la paradoja de San Petersburgo, un juego tiene valor esperado infinito y, sin embargo, nadie pagaría mucho por jugarlo. Daniel Bernoulli lo resolvió en 1738 introduciendo la utilidad: un millón extra no vale lo mismo para un pobre que para un rico. Así nació la teoría de la decisión moderna.

Dónde se usa hoy

• Seguros: las primas se calculan con el valor esperado de los siniestros, más un margen.
• Economía y finanzas: rendimiento esperado de inversiones.
• Inteligencia artificial: los agentes de aprendizaje por refuerzo maximizan la recompensa esperada.
• Deportes: métricas como los "goles esperados" (xG) del fútbol.